时间分割插补法原理解析

1.时间分割插补法直线插补

时间分割插补法是典型的数据采样插补方法。它首先根据加工指令中的进给速度F，计算出每一插补周期的轮廓步长l。即用插补周期为时间单位，将整个加工过程分割成许多个单位时间内的进给过程。以插补周期为时间单位，则单位时间内的移动的路程等于速度，即轮廓步长l与轮廓速度f相等。插补计算的主要任务是算出下一插补点的坐标，从而算出轮廓速度f在各个坐标轴的分速度，即下一插补周期内各个坐标的进给量Δx、Δy。控制X、Y坐标分别以Δx、Δy为速度协调进给，即可走出逼近直线段，到达下一插补点。在进给过程中，对实际位置进行采样，与插补计算的坐标值比较，得出位置误差，位置误差在后一采样周期内修正。采样周期可以等于插补周期，也可以小于插补周期，如插补周期的1/2。

设指令进给速度为F，其单位为mm/min，插补周期8ms，f的单位为μm/8ms，l的单位为μm，则

无论进行直线插补还是圆弧插补，都必须先用上式计算出单位时间（插补周期）的进给量，然后才能进行插补点的计算。

设要加工XOY平面上的直线OA，如图3-22所示。直线起点在坐标原点O，终点为A（x_e，y_e）。当刀具从O点移动到A点时，X轴和Y轴移动的增量分别为x_e和y_e。要使动点从O到A沿给定直线运动，必须使X轴和Y轴的运动速度始终保持一定比例关系，这个比例关系由终点坐标x_e、y_e的比值决定。

图3-22 时间分割法直线插补

设要加工的直线与X轴的夹角为α，OM为已计算出的轮廓步长l，即单位时间间隔（插补周期）的进给量f。于是有

式中 Δx——X轴插补进给量；

Δy——Y轴插补进给量。

时间分割插补法插补计算结果，就是算出下一单位时间间隔（插补周期）内各个坐标轴的进给量。因此，时间分割插补法插补计算可按以下步骤进行：

1）根据加工指令中的速度值F，计算轮廓步长l。

2）根据终点坐标值x_e、y_e，计算tanα。

3）根据tanα计算cosα。

4）计算X轴进给量Δx。

5）计算Y轴进给量Δy。

在进给速度不变的情况下，各个插补周期Δx，Δy不变，但在加减速过程中是要变化的。为了和加减速过程采用统一的处理办法，所以即使在匀速段也进行插补计算。

2.时间分割法圆弧插补

时间分割法圆弧插补，也必须先根据加工指令中的进给速度F，计算出轮廓步长，即单位时间（插补周期）内的进给量l，才能进行插补计算。圆弧插补计算，就是以轮廓步长为圆弧上相邻两个插补点之间弦长，由前一个插补点的坐标和圆弧半径，计算由前一插补点到后一插补点两个坐标轴的进给量Δx、Δy。

如图3-23所示的顺圆弧，A点为圆弧上的一个插补点，其坐标为（x_i，y_i），B点为经A点之后一个插补周期应到达的另一插补点，B点也应在圆弧上。A点和B点之间的弦长等于轮廓步长l。AP是圆弧在A点的切线，M是弦AB的中点，OM⊥AB，ME⊥AF，E为AF的中点。圆心角具有如下关系：

图3-23 时间分割法圆弧插补

ϕ_i+1=ϕ_i+δ

式中 δ——轮廓步长l所对应的圆心角增量，也称为步距角。

因为OA⊥AP，所以三角形AOC∽三角形PAF则

∠AOC=∠PAF=ϕ_i

因为AP为切线，所以

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在三角形MOD中

将DH=x_i，OC=y_i，HM，代入上式，则有

式（3-21）中，cosα和sinα均为未知，要计算tanα仍很困难。为此，采用一种近似算法，即以cos45°和sin45°来代替cosα和sinα。这样，上式可改写为

因为A点的坐标值x_i，y_i为已知，要求B点的坐标可先求X轴的进给量

因为A（x_i，y_i）和B（x_i+Δx，y_i-Δy）是圆弧上相邻两点，必然满足下列关系式：

x²_i+y²_i=（x_i+Δx）2+（y_i-Δy）²

经展开整理后可得

由上式可以计算出Δy。上式实际上仍为一个Δy的二次方程，如要用解方程的方法求Δy，则较复杂。这里可以直接用上式进行迭代计算。第一次迭代，等式右边的Δy由下式决定：

Δy=Δxtanα

计算出式（3-23）左边的Δy后代入右边再计算左边的Δy，直到等式两边的Δy相等（误差小于一个脉冲当量）为止。

由此可得下一插补点B（x_i+1，y_i+1）的坐标值

x_i+1=x_i+Δx

y_i+1=y_i-Δy

再用式（3-22）进行近似计算tanα时，势必造成tanα的偏差，进而造成Δx的偏差。但是，这样的近似并不影响B点仍在圆弧上。这是因为Δy是通过式（3-23）计算出来的，满足式（3-23），B点就必然在圆弧上。tanα的近似计算，只造成进给速度的微小偏差，实际进给速度的变化小于指令进给速度的1%。这么小的进给速度变化在实际切削加工中是微不足道的，可以认为插补速度是均匀的。

时间分割插补法用弦线逼近圆弧，因此插补误差主要为半径的绝对误差。插补周期是固定的，该误差取决于进给速度和圆弧半径，见式（3-16）。为此，当加工的圆弧半径确定后，为了使径向误差不超过允许值，对进给速度要有一个限制。

由式（3-16）可得

式中　e_r——最大径向误差；

r——圆弧半径。

当要求e_r≤1μm，插补周期为T=8ms，则进给速度

式中 F——进给速度（mm/min）。

另外，与前面介绍的数字积分插补法相似，扩展DDA算法是在数字积分原理的基础上发展起来的。它在处理圆弧插补时，不是直接应用数字积分，而是对数字积分法作了改进，将数字积分法用切线逼近圆弧的方法改进为割线逼近，减小了逼近误差。由于时间有限，扩展DDA数据采样插补法不做详细介绍。