逐点比较法圆弧插补优化策略

1.圆弧插补计算原理

（1）偏差计算公式 下面以第一象限逆圆为例讨论圆弧插补的偏差计算公式。如图3-5所示，要加工圆弧AB，设圆弧的圆心在坐标原点，并已知圆弧的起点A（x₀，y₀），终点为B（x_e，y_e），圆弧半径为R。令瞬时加工点（动点）为m（x_m，y_m），它到圆心的距离为R_m。从图上可以看出，加工点m可能在三种位置上出现，即圆弧上、圆弧内或圆弧外。

1）当动点m位于圆弧上有：

x²_m+y²_m-R²=0

2）当动点m位于圆弧内有：

x²_m+y²_m-R²<0

3）当动点m位于圆弧外有：

x²_m+y²_m-R²>0

因此，可定义圆弧偏差判别式如下：

若F_m≥0，动点m在圆弧上或圆弧外，向-X方向进给一步并算出新的偏差。

F_m<0，动点m在圆弧内，向+Y方向进给一步并算出新的偏差。

图3-5 第一象限逆圆弧

如此走一步，算一步，直至到达终点后停止运算，即可插补出如图3-5所示的第一象限逆圆弧AB。

由于偏差计算公式中有平方值计算，故需简化设加工点处于m（x_m，y_m）点，其偏差计算式为

F_m=x²_m+y²_m-R² （3-4）

若F_m≥0，应沿-X轴方向进给一步，到m+1点，其坐标值为

x_m+1=x_m-1

y_m+1=y_m

则新加工点m+1点的偏差为

F_m+1=x²_m+1+y²_m+1-R²

=（x_m-1）2+y²_m-R²

=F_m-2x_m+1 （3-5）

若F_m＜0，沿+Y轴方向进给一步，到m+1点，其坐标值为

x_m+1=x_m

y_m+1=y_m+1

则新加工点的偏差值为

F_m+1=x²_m+1+y²_m+1-R²

=x²_m+（y_m+1）²-R²

=F_m+2y_m+1 （3-6）

由式（3-5）和式（3-6）可知，新点的偏差可由前一点的偏差及前一点的坐标计算得到。式中只有乘2运算及加减运算，避免了平方运算，从而使计算大大地简化了。因为加工从圆弧的起点开始，起点的偏差F₀=0，所以新加工点的偏差总可根据前一点的数据计算出来。

（2）终点判别方法 圆弧插补的终点判别方法与直线插补的方法基本相同。可将X、Y轴走步数总和存入一个计数器，∑=x_e-x₀+y_e-y₀，每走一步，∑减一，当∑=0，发出停止信号。

（3）插补计算过程 圆弧插补的计算过程与直线插补过程基本相同，但由于其偏差计算公式不仅与前一点偏差有关，且与前一点坐标有关，故在偏差计算的同时要进行坐标计算，以便为下一点的偏差计算做好准备。即圆弧插补过程分为偏差判别、坐标进给、偏差计算、坐标计算及终点判别五个步骤。

2.圆弧插补计算举例

【例3-2】设加工第一象限逆圆AB，已知起点A（4，0），终点B（0，4）。试进行插补计算并画出走步轨迹。

圆弧插补计算过程如表3-3所示，根据表3-3作出走步轨迹如图3-6所示。

(www.xing528.com)

图3-6 圆弧插补走步轨迹图

表3-3 圆弧插补计算过程

3.四个象限圆弧插补计算

为叙述方便，用SR1、SR2、SR3、SR4分别表示第一、二、三、四象限的顺圆弧；用NR1、NR2、NR3、NR4分别表示第一、二、三、四象限的逆圆弧。

从前面分析可知，第一象限逆圆插补运动，使动点坐标x_m的绝对值减少，使y_m的绝对值增加。

X轴进给一步，则

x_m+1=x_m-1

从而得出

F_m+1=F_m-2x_m+1

Y轴进给一步，则

y_m+1=y_m+1

从而得出

F_m+1=F_m+2y_m+1

参照图3-7，第一象限顺圆弧SR1运动趋势是X轴绝对值增，Y轴绝对值减。由此可以得出：当F_m≥0时，动点在圆上或圆外，Y轴负向进给，绝对值减小，即

y_m+1=y_m-1

F_m+1=F_m-2y_m+1

当F_m＜0时，动点在圆内，X轴正向进给，绝对值增加，即

x_m+1=x_m+1

F_m+1=F_m+2x_m+1

与直线插补相似，如果插补计算都用坐标的绝对值进行，将进给方向另作处理，那么，四个象限的圆弧插补计算即可统一起来，变得简单多了。从图3-7可以看出，SR1、NR2、SR3、NR4的插补运动趋势都是使X轴坐标绝对值增加，Y轴坐标绝对值减小，这几种圆弧的插补计算是一致的，以SR1为代表。NR1、SR2、NR3、SR4插补运动趋势都是使X轴坐标绝对值减小、Y轴坐标绝对值增加，这四种圆弧插补计算也是一致的，以NR1为代表。

如图3-7所示，与第一象限逆圆NR1相对应的其他三个象限的圆弧有SR2、NR3、SR4。其中，第二象限顺圆SR2与第一象限逆圆NR1是关于Y轴对称的，起点坐标（-x₀，y₀），从图中可知，两个圆弧从各自起点插补出来的轨迹对于Y坐标对称，即Y方向的进给相同，X方向进给相反。机器完全按第一象限逆圆偏差计算公式进行计算，所不同的是将X轴的进给方向变为正向，则走出的就是第二象限顺圆SR2。在这里，圆弧的起点坐标要取其数字的绝对值，即送入机器时，起点坐标为无符号数（x₀，y₀），而-x₀的“—”号则用于确定象限，从而确定进给方向。

表3-4列出了八种圆弧的插补计算公式和进给方向。

图3-7 四个象限圆弧

表3-4 八种圆弧的插补计算公式和进给方向

（续）

4.圆弧插补计算的程序实现

圆弧插补的偏差计算公式、终点判别公式以及插补的步骤如前所述。可以看出，在插补过程中，所有的逻辑运算及算术运算与几个数据有关，即偏差值F_m、坐标值x_m、y_m及走步数∑。与直线插补一样，首先应在内存中开辟四个数据区用以存放这些数据。在一个数控系统中，直线插补和圆弧插补可共用这些数据区。

XX和YY单元为X轴坐标值和Y轴坐标值的存放单元，用来存放瞬时加工点的坐标值x_m、y_m。初始存入起点坐标x₀、y₀，在加工过程中依据坐标计算结果而变化。

JJ为走步数存放单元。初始存入总步数∑，∑=|x_e-x₀|+|y_e-y₀|，在加工过程中作减一运算，直至JJ=0表示加工结束。

FF为加工点瞬时偏差值F_m的存放单元，初始时将FF由数据处理模块清零，在加工过程中依据偏差计算结果而变化。

进给方向在圆弧不过象限的情况下是不变的，可以由数据处理模块以标志的形式直接传送给伺服驱动程序，插补模块不用处理进给方向的正负问题。数据区的初始化由数据处理程序模块完成。圆弧插补程序流程图略。