设计自由曲面的反射部分

计算了透射部分的曲面轮廓之后，继续计算反射部分的曲面。如图1-8所示，小角度区域的光线经过折射透镜输出，而角度大的光线先入射到S₄面折射后到S₅面，经S₅面反射后，最终经S₆面出射，假设S₆面出射的光线都是平行于y轴。S₁面的下面是个圆柱形的空腔，可以用来放LED光源。这里假设透射部分光线的角度范围为0～A₁，而反射部分的光线的角度区域为A₁～P₁，其中A₁为折射部分和反射部分的分界角（见图1-9），P₁为最下边缘的光线OF₁与y轴的夹角，该区域内的光线按等角度间隔进行采样，即任意一条采样光线OF_t与y轴夹角P_t都是已知的。第t条光线OF_t入射到S₄面上的F_t点的坐标为

式中，P_t为光源发出的光线OF_t与y轴的夹角。如图1-9所示，这里d为圆柱形空腔的半径，d=htanα，α为折射部分和反射部分的分界角，即A₁=α。h为e₁点的纵坐标。

图1-8 反射部分光路示意图

图1-9 透镜的边界条件示意图

光线OF_t经过S₄面折射后照到了S₅面，根据折射定律

式中，Q_t为从S₄面出射的光线F_tf_t与过F_t点法线矢量的夹角；n₀和n₁分别为空气和介质的折射率。第1条光线OF₁，经过S₄面折射后照到S₅面的起始点f₁，要保证从f₁点出射的光线刚好通过S₂面边缘点，因此f₁的坐标为

x₅₁=x₂₁，y₅₁=dcotP₁+（x₂₁-d）tanQ₁ （1-15）

如图1-10所示，光线OF_t经过S₄面折射后，入射到了S₅面上的f_t（x_5t，y_5t）点，光线F_tf_t的单位方向矢量为I_5t，当光线F_tf_t入射到S₅面的f_t点上，经其反射之后的出射光线方向矢量为O_5t，矢量O_5t平行于y轴，曲面f_t点处的法向矢量为N_5t。I、O和N三者满足反射定律，即

根据这个关系可以求出过S₅面上f_t点的切线斜率为(www.xing528.com)

接下来构建S₅面上相邻采样点f_t和f_t+1之间的迭代关系。如图1-10所示，当获得f_t点的坐标（x_5t，y_5t）以后，如果S₅面上采样点的数量比较多，过f_t点的切线与从F_t+1点出射的第t+1条采样光线的交点可近似为f_t+1点。过f_t点的切线的斜率可以用F_t和f_t的坐标来表示，如式（1-19）。

F_t+1f_t+1的斜率可表示为

过f_t点的切线的斜率为

图1-10 构建反射面上相邻两个坐标点之间的迭代关系

联立式（1-20）和式（1-21）可以得到

图1-11 光学系统的二维轮廓