自由曲面设计优化——折射部分

图1-4 透射部分示意图

对于发散角比较小的光线采用折射式的准直系统，这里使用双自由曲面构成的透镜，如图1-4所示。光线从O点发出，按等角度间隔取一系列的采样光线，这些光线与光轴的夹角分别为A₁，A₂，…，A_i。这些光线与自由曲面S₁的交点为e₁，e₂，…，e_i，经过S₁折射后与自由曲面S₂的交点为E₁，E₂，…，E_i。透射部分由两个自由曲面S₁和S₂构成。S₁面上各点坐标为e_i（x_1i，y_1i），S₂面上各点坐标为E_i（x_2i，y_2i），e₁点和E₁点的纵坐标分别为y₁₁=h，y₂₁=H。其中下标中的第1个数字表示面的序号，而第2个数字表示该面上的坐标点的序号，以下规定类似。经过S₁折射后的光线与光轴夹角分别为B₁，B₂，…，B_i。经过S₂出射后的夹角分别为C₁，C₂，…，C_i。其中Ci按等角度依次递减，计算方法为，为了使最终输出的光发散角比较小，要求C₁≤6°。这里B_i=ξ（A_i+C_i），其中ξ为分角比例因子，关于ξ的选取将在后面讨论。S₃面是一个目标面，位置可以任意选取，又因为C_i已知，所以S₃面的各点坐标容易获得。

构建S₁面和S₂面，就是获得e₁，e₂，…，e_i以及E₁，E₂，…，E_i一系列点的坐标过程，为了计算自由曲面S₁和S₂上任一个采样点的坐标，需要推导自由曲面上相邻两个采样点之间的迭代关系。如果这种迭代关系建立起来，知道e_i点就可以计算出e_i+1点，同理知道E_i点可以计算出E_i+1点。

先假设e_i点和E_i点的坐标已知，分别为（x_1i，y_1i）和（x_2i，y_2i），如图1-5所示，光线Oe_i经过e_i点折射后，折射角为B_i，e_i点处的法线矢量为N_1i，根据折射定律的矢量形式

[1+n²-2n（Out·In）]^1/2·N=Out-nIn （1-1）

其中

图1-5 过自由曲面上任意点的法向矢量计算示意图

可以求得过e_i点的切线的斜率为

同样也可以求得过E_i点的切线的斜率为

目标面S₃上M_i点的坐标为（x_3i，y_3i）。

接下来构建S₁面上相邻采样点e_i和e_i+1之间的迭代关系。如图1-6所示，当获得e_i点的坐标（x_1i，y_1i）以后，如果S₁面上采样点的数量比较多，过e_i点的切线与从O点出射的第i+1条采样光线的交点可近似为e_i+1点。过e_i点的切线的斜率可以用e_i和e_i+1的坐标来表示为

e_i+1点位于从O点出射的第i+1条采样光线上，所以满足(www.xing528.com)

x_1i+1=y_1i+1tan（A_i+1） （1-6）

联立式（1-5）和式（1-6）可以得到

图1-6 曲面S₁上相邻两采样点迭代关系计算示意图

从式（1-7）和式（1-8）可以看出e_i+1点的坐标可以用e_i点的坐标（x_1i，y_1i）、过e_i点的切线斜率k_1i以及第i+1条采样光线与LED光源的法向夹角A_i+1来计算。

这样就建立起来了曲面S₁上相邻采样点e_i和e_i+1之间的迭代关系，知道曲面上任意点e_i就可以得到相邻点e_i+1。在透镜设计的初始条件中e₁点的坐标就确定了（见图1-4），这样利用迭代关系式（1-7）和式（1-8）可以计算出曲面S₁上所有点的坐标。

当获得了曲面S₁上所有点的坐标之后，接下来推导曲面S₂上相邻两个采样点E_i和E_i+1之间的迭代关系。假设E_i如图1-7所示，从O点出射的第i+1条光线Oe_i+1经曲面S₁折射后与过E_i点的切线的交点可看作是E_i+1。过E_i点的切线率可用式（1-4）获得，该斜率也可用E_i点和E_i+1的坐标表示为

光线e_i+1Ei+1的斜率可以用E_i+1和e_i+1坐标表示为

联立式（1-9）和式（1-10）可以得到

图1-7 曲面S₂上相邻两个采样点迭代关系计算示意图

从式（1-11）和式（1-12）可以看出E_i+1点的坐标可以用E_i点的坐标（x_2i，y_2i）、e_i+1点的坐标（x_1i+1，y_1i+1）、过Ei点的切线斜率k_2i以及光线e_i+1E_i+1与LED光源的法向夹角B_i+1来计算。这样就建立起来了曲面S₂上相邻采样点E_i和E_i+1之间的迭代关系，知道曲面上任意点E_i就可以得到相邻点E_i+1。在透镜设计的初始条件中E₁点的坐标就确定了（见图1-4），这样利用迭代关系式（1-11）和式（1-12）可以计算出曲面S₂上所有点的坐标。