受弯构件的计算方法和要点

预应力混凝土受弯构件的计算可分为使用阶段正截面承载力计算、使用阶段斜截面承载力计算、使用阶段抗裂度验算、变形验算和施工阶段验算等。

8.5.2.1　使用阶段正截面承载力计算

1.破坏阶段的截面应力状态

（1）界限破坏时截面相对受压区高度ξb 的计算。对于有明显屈服点的预应力钢筋：

图8.26　条件屈服钢筋的拉应变

对于无明显屈服点的预应力钢筋 （钢丝、钢绞线、热处理钢筋），如图8.26 所示，则：

式中 σp0——受拉区纵向预应力钢筋合力点处混凝土法向应力等于零时的预应力钢筋应力。

（2）任意位置处预应力钢筋及非预应力钢筋应力的计算。纵向钢筋应力可按下列近似公式计算：

式中 σpi、σsi——第i 层纵向预应力钢筋、非预应力钢筋的应力，正值代表拉应力、负值代表压应力；

h0i——第i 层纵向钢筋截面重心至混凝土受压区边缘的距离；

x——等效矩形应力图形的混凝土受压区高度；

σp0i——第i 层纵向预应力钢筋截面重心处混凝土法向应力等于零时预应力钢筋的应力。

预应力钢筋的应力σpi应符合条件σp0i—f′py≤σpi≤fpy，当σpi为拉应力且其值大于fpy时，取σpi＝fpy，当σpi为压应力且其绝对值大于 （σp0i—f′py）的绝对值时，取σpi＝σp0i—f′py；非预应力钢筋应力σsi应符合条件—f′y≤σsi≤fy，当σsi为拉应力且其值大于fy时，取σsi＝fy，当σsi为压应力且其绝对值大于f′y时，取σsi＝—f′y。

（3）受压区预应力钢筋应力σ′p的计算。截面到达破坏时，A′p的应力可能仍为拉应力，也可能变为压应力，但其应力值σ′p达不到抗压强度设计值f′py，而仅为：

2.正截面受弯承载力计算

对于图8.27 所示的矩形截面或翼缘位于受拉边的矩形截面预应力混凝土受弯构件，其正截面受弯承载力计算的基本公式为：

式中 M——弯矩设计值；

Mu——正截面受弯承载力设计值；

As、A′s——受拉区、受压区纵向非预应力钢筋的截面面积；

Ap、A′p——受拉区、受压区纵向预应力钢筋的截面面积；

h0——截面的有效高度；

b——矩形截面的宽度或倒T 形截面的腹板宽度；

α1——系数，参见 “第5 章弯矩、剪力和轴力作用下构件的截面承载力”表5.2；

a′s、a′p——受压区纵向非预应力钢筋合力点、预应力钢筋合力点至截面受压边缘的距离。

混凝土受压区高度尚应符合下列条件：

图8.27　矩形截面受弯构件正截面承载力计算

式中 a′——受压区全部纵向钢筋合力点至截面受压边缘的距离，当受压区未配置纵向预应力钢筋或受压区纵向预应力钢筋应力σ′p＝σ′p0—f′py为拉应力时，则式中的a′用a′s代替。

当x＜2a′时，正截面受弯承载力可按下列公式计算：

当σ′p为拉应力时，取x＝2a′s，则：

式中 as、ap——受拉区纵向非预应力钢筋、预应力钢筋合力点至受拉边缘的距离。

8.5.2.2　使用阶段斜截面承载力计算

因为预应力抑制了斜裂缝的出现和发展，根据试验结果，计算预应力混凝土梁的斜截面受剪承载力，可在钢筋混凝土梁计算公式的基础上，增加一项由预应力而提高的斜截面受剪承载力设计值Vp。

（1）对矩形、T形及工字形截面的预应力混凝土受弯构件，当仅配置箍筋时，其斜截面的受剪承载力按式（8.41）计算：

（2）当配有箍筋和预应力弯起钢筋时，其斜截面受剪承载力按式（8.41）计算：

①包括作用有多种荷载，且其中集中荷载对支座截面或节点边缘所产生的剪力值占总剪力值达75%以上的情况。

Asb、Apb——同一弯起平面内非预应力弯起钢筋、预应力弯起钢筋的截面面积；

αs、αp——斜截面上非预应力弯起钢筋、预应力弯起钢筋的切线与构件纵向轴线的夹角。

（3）为了防止斜压破坏，受剪截面应符合有关条件，内容同 “5.5.3 受弯构件斜截面受剪承载力设计计算方法”。

（4）矩形、T形、工形截面的一般预应力混凝土受弯构件，当符合式（8.43）的要求时，则可不进行斜截面受剪承载力计算，仅需按构造要求配置箍筋。

上述斜截面受剪承载力计算公式的适用范围和计算位置与“第5 章弯矩、剪力和轴力作用下构件的截面承载力”相同。

8.5.2.3　使用阶段抗裂度验算

1.正截面抗裂度验算

对于使用阶段不允许出现裂缝的受弯构件，其正截面抗裂度根据裂缝控制等级的不同要求，按下列规定验算受拉边缘的应力：

1）一级。严格要求不出现裂缝的构件。在荷载效应的标准组合下应符合下列规定：

2）二级。一般要求不出现裂缝的构件。在荷载效应的标准组合下应符合下列规定：

在荷载效应的准永久组合下宜符合下列规定：

式中 σpcⅡ——扣除全部预应力损失值后，在抗裂验算边缘混凝土的预压应力，按式（8.30）或式（8.31）计算；

2.斜截面抗裂度验算(www.xing528.com)

《混凝土结构设计规范》规定预应力混凝土受弯构件斜截面的抗裂度验算，主要是验算截面上混凝土的主拉应力σtp和主压应力σcp不超过规定的限值。

（1）斜截面抗裂度验算的规定

1）混凝土主拉应力。对严格要求不出现裂缝的构件，应符合：

对一般要求不出现裂缝的构件，应符合：

2）混凝土主压应力。对严格要求和一般要求不出现裂缝的构件，均应符合：

式中 0.85、0.95——考虑张拉时的不准确性和构件质量变异影响的经验系数；

0.6——主要防止腹板在预应力和荷载作用下压坏，并考虑到主压应力过大会导致斜截面抗裂能力降低的经验系数。

（2）混凝土主拉应力σtp和主压应力σcp的计算。预应力混凝土构件在斜截面开裂前，基本处于弹性工作状态，故主应力可按材料力学的方法计算。

式中 σx——由预应力和按荷载标准组合计算的弯矩值Mk在计算纤维处产生的混凝土法向应力；

y0、I0——换算截面重心至所计算纤维处的距离和换算截面惯性矩；

σy——由集中荷载标准值Fk产生的混凝土竖向压应力；

τ——由剪力值Vk和预应力弯起钢筋的预应力在计算纤维处产生的混凝土剪应力；

Vk——按荷载标准组合计算的剪力值；

σp——预应力弯起钢筋的有效预应力；

S0——计算纤维以上部分的换算截面面积对构件换算截面重心的面积矩；

Apb——计算截面上同一弯起平面内的预应力弯起钢筋的截面面积；

αp——计算截面上预应力弯起钢筋的切线与构件纵向轴线的夹角。

上述公式中，当为拉应力时，以正值代入；当为压应力时，以负值代入。

图8.28　传递长度范围内有效预应力值的变化

（3）斜截面抗裂度验算位置。对先张法预应力混凝土构件端部进行斜截面受剪承载力计算以及正截面、斜截面抗裂验算时，应考虑预应力钢筋在其预应力传递长度ltr^[8]范围内实际应力值的变化，如图8.28 所示。预应力钢筋的实际预应力按线性规律增大，在构件端部为零，在其传递长度的末端取有效预应力值σpe。

8.5.2.4　受弯构件的变形验算

构件的挠度由两部分叠加而成：一部分是由荷载产生的挠度f1l；另一部分是由预加应力产生的反拱f2l。

1.荷载作用下构件的挠度f1l

可按一般材料力学方法进行计算：

其中截面弯曲刚度B 应分别按下列情况计算。

（1）按荷载效应标准组合下的短期刚度计算。

1）对于使用阶段要求不出现裂缝的构件：

2）对于使用阶段允许出现裂缝的构件：

对预压时预拉区出现裂缝的构件，Bs应降低10%。

（2）按荷载效应标准组合并考虑预加应力长期作用影响的刚度，可按式（7.5）计算，其中Bs按式（8.52）或式（8.53）计算。

2.预加应力产生的反拱f2l

预应力混凝土构件在偏心距为ep的总预压力Np作用下将产生反拱f2l，设梁的跨度为l，截面弯曲刚度为B，则：

式中Np、ep及B 等按下列不同的规定取用不同的数值。

（1）荷载标准组合下的反拱值。按B＝0.85EcI0计算，此时的Np、ep均按扣除第一批预应力损失值后的情况计算，先张法构件为Np0Ⅰ、ep0Ⅰ，后张法构件为NpⅠ、epnⅠ。

（2）考虑预加应力长期影响下的反拱值。按刚度B ＝0.425EcI0计算，此时Np、ep应按扣除全部预应力损失后的情况计算，先张法构件为Np0Π、ep0Π，后张法构件为NpΠ、epnΠ。

3.挠度验算

荷载标准组合下构件产生的挠度扣除预应力产生的反拱，即为预应力受弯构件的挠度，应不超过规定的限值。即

式中 flim——受弯构件挠度限值。

8.5.2.5　受弯构件施工阶段的验算

《混凝土结构设计规范》 （GB50010—2002）规定，对制作、运输及安装等施工阶段，除进行承载能力极限状态验算外，还应对在预加力、自重及施工荷载作用下截面边缘的混凝土法向拉应力σct和压应力σcc进行控制，如图8.29 所示。

（1）对施工阶段不允许出现裂缝的构件

（2）对施工阶段预拉区允许出现裂缝的构件，当预拉区不配置预应力钢筋时，截面边缘的混凝土法向应力应符合：

图8.29　预应力混凝土受弯构件

（a）制作阶段；（b）吊装阶段；（c）使用阶段

式中 f′tk、f′ck——按相应施工阶段混凝土强度等级f′cu确定的混凝土抗拉强度和抗压强度标准值，按附表线性内插法确定；

σct、σcc——相应施工阶段计算截面边缘纤维的混凝土法向拉应力和压应力；

σpc——由预应力产生的混凝土法向应力，当σpc为压应力时，取正值；当σpc为拉应力时，取负值；

Nk、Mk——构件自重及施工荷载的标准组合在计算截面产生的轴向力值及弯矩值，当Nk为轴向压力时取正值，反之取负值，由Mk产生的边缘纤维为压应力时取正值，反之取负值。