可靠指标与失效概率的优化方案

结构的可靠度可用可靠概率pS来描述。可靠概率pS＝1—pf，pf为失效概率。因此，要计算可靠概率pS，就应先计算失效概率pf。

图3.2　S、R 的概率密度分布曲线

设构件的荷载效应S、结构抗力R 均为服从正态分布的随机变量且二者为线性关系。S、R 的平均值分别为μS、μR，标准差分别为σS、σR，S、R 的概率密度分布曲线如图3.2 所示。

按照结构设计要求，μR 应大于μS，从图3.2 中可看出，在大多数情况下构件的R 大于S，但由于离散性，在S、R 的概率密度曲线重叠区（阴影部分），仍有可能出现构件的R 小于S 的情况。所以，重叠区的大小反映了R 和S 间的概率关系，即结构的失效概率pf。

从结构安全角度可知，提高结构构件的抗力^[4]，减小R 和S 的离散程度^[5]，可以提高结构构件的可靠程度。所以，加大平均值之差μR—μS，减小标准差σS和σR可以使pf降低。

Z＝R—S，Z 也是服从正态分布的随机变量，Z 的概率密度分布曲线如图3.3 所示。图中阴影部分表示出现Z＜0 事件的概率，也就是构件的失效概率pf，可表示为：

但是按式（3.3）计算失效概率pf比较麻烦，故改用一种可靠指标的计算方法。从图3.3 可看到，阴影部分的面积与μZ 和σZ的大小有关：增大μZ，曲线右移，阴影面积将减少；减小σZ，曲线变得高而窄，阴影面积也将减少。如果将曲线对称轴至纵轴的距离表示成σZ的倍数，即取μZ＝βσZ，式中β大，则曲线右移，阴影面积将减少，失效概率pf小。所以，β和失效概率pf一样可作为衡量结构可靠度的一个指标，称为可靠指标。计算公式如式（3.4）：

图3.3　可靠指标与失效概率关系示意图

β与失效概率pf之间有一一对应关系，见表3.3。(www.xing528.com)

表3.3　可靠指标β与失效概率pf的对应关系

结构和结构构件的破坏类型分为延性破坏和脆性破坏两类。延性破坏有明显的预兆，可及时采取补救措施，所以目标可靠指标可定得稍低些。脆性破坏常常是突发性破坏，破坏前没有明显的预兆，所以目标可靠指标就应该定得高些。《建筑结构可靠度设计统一标准》（GB50068—2001）根据结构安全等级和破坏类型，在对代表性的构件进行可靠度分析的基础上，规定了按承载能力极限状态设计时的目标可靠指标β值，见表3.4。

表3.4　结构构件承载能力极限状态的目标可靠指标[β]

用可靠指标β进行结构设计和可靠度校核，可以较全面地考虑可靠度影响因素的客观变异性，使结构满足预期的可靠度要求。

【例3.1】 受恒载作用的钢筋混凝土梁，受弯承载力极限状态方程为Z ＝R—S ＝0，已知荷载效应（弯矩M）服从正态分布，且μM＝13kN·m，δM＝0.07；抗力R 假定为服从正态分布，且μR＝20.80kN·m，δR＝0.094；求此梁的可靠指标β。

【解】 1.参数计算

已知μR＝20.80kN·m；δR＝0.094，σR＝δRμR＝0.094×20.80＝1.955kN·m

μs＝μM＝13kN·m，σS＝σM＝δMμM＝0.07×13＝0.91kN·m

2.求可靠指标β