使用Hessian矩阵进行特征点检测的简化方法

给定图像I中一个点x（x，y），在点x处，尺度为σ的Hessian矩阵H（x，σ）定义如下。

式中，L_xx（x，σ）是高斯二阶微分在点x处与图像I的卷积，L_xy（x，σ）和L_yy（x，σ）具有同样的含义。

由于二阶高斯微分模板被离散化和剪裁的原因，导致了图像在旋转奇数倍的π/4时，即转动到模板的对角线方向时，特征点检测的重复性（Repeatability）降低。而在π/2时，特征点检测的重复性最高。但这一不足不影响使用Hessian矩阵进行特征点检测。

为了将模板与图像的卷积转化成盒子滤波（BoxFilter）运算，需要对高斯二阶微分模板进行简化，使得简化后的模板只是由几个矩形区域组成，矩形区域内填充同一值，如图4-26所示，在简化模板中白色区域的值为1，黑色区域的值为-1，灰色区域的值为0。

对于σ=1.2的高斯二阶微分滤波，设定模板的尺寸为9×9的大小，并用它作为最小尺度空间值对图像进行滤波和斑点检测。使用D_xx、D_yy和D_xy表示模板与图像进行卷积的结果，这样便可将Hessian矩阵的行列式作如下简化。

图4-26 高斯二阶微分模板以及简化

a） b）L_yy的简化 c） d）L_xy的简化(www.xing528.com)

式中，，|X|_F为Frobenius范数。理论上讲，对于不同σ值和对应的模板尺寸，Y值是不同的，但为了简化起见，可以认为它是一个常数。同样，也可以认为C为常数，由于常数C不影响对于极大值求取，因此，便有

Det（H_approx）=D_xxD_yy-（0.9D_xy）²

不过，在实际计算滤波响应值时需要将模板盒子尺寸（面积）进行归一化处理，以保证使用一个统一的Frobenius范数能适应所有的滤波尺寸。如对于9×9模板的L_xx和L_yy盒子的面积为15，L_xy的盒子面积为9。一般而言，如果盒子内部填充值为vⁿ∈{1，-1，-2}，盒子对应的四个角点积分图像值为{p₁ⁿ，p₂ⁿ，p₃ⁿ，p₄ⁿ}，盒子面积分别为s_xx、s_yy（s_xx=s_yy）和s_xy，那么，盒子滤波响应值为

从D_xx、D_yy和D_xy的计算公式可以看出，它们的运算量与模板的尺寸是无关的。计算D_xx和D_yy只有12次加减法和4次乘法，计算D_xy只有16次加减法和5次乘法。

使用近似的Hessian矩阵行列式来表示图像中某一点x处的斑点响应值，遍历图像中所有的像元点，便形成了在某一尺度下斑点检测的响应图像。使用不同的模板尺寸，便形成了多尺度斑点响应的金字塔图像，利用这一金字塔图像，就可以进行斑点响应极值点的搜索，其过程完全与SIFT算法类同。