多输入多输出系统的相对增益矩阵简介

相对增益矩阵是多输入多输出系统选择控制通道和解耦控制方法的主要依据。相对增益矩阵的求法有实验法、解析法和间接法。

1.实验法

实验法是按照相对增益的定义求取的，第一放大系数比较容易求取；而第二放大系数的求取有较大困难，甚至在实际系统中难以进行。

2.解析法

解析法根据被控过程的工作原理，通过对输入输出数学关系的推导来求取。该方法计算量较大，实际使用受到了限制。

以图8-1所示的流量控制过程为例，用解析法求以阀门1和阀门2开度u₁、u₂为输入，管道流量y₂和管道压力y₁为输出的双输入双输出系统的增益矩阵。管内压差和流量的关系可表示为

y₂＝u₁（p₀-p₁）＝u₂（p₁-p₂）

y₁＝p₁由上式得

根据定义求u₁到y₂通道的第一增益和第二增益得

因此，求得相对增益为

同理求得

3.间接法

间接法通过相对增益与第一增益的关系，利用第一增益去求相对增益，实际中求取较方便，应用广泛。

假设系统的开环放大系数矩阵K（即静态增益矩阵）如下

则它就是系统的第一增益矩阵，即；如果K非奇异，则其逆矩阵K^-1的各元素就是，其转置矩阵C＝[K^-1]^T的各元素仍是y。则相对增益矩阵为

即相对增益矩阵各元素是矩阵K中的每个元素与转置矩阵C相应元素的乘积。即相对增益矩阵可表示为矩阵K和转置矩阵C的点积，即(www.xing528.com)

Λ＝K·C （8-6）

对于双输入双输出系统有

稳态时对应的传递函数可简化为

y₁＝k₁₁u₁+k₁₂u2

y₂＝k₂₁u₁+k₂₂u₂

系统的第一增益为

第一增益矩阵为

根据式（8-5）可求得相对增益为

相对增益矩阵为

例如已知被控对象的传递函数矩阵G（s），即

则系统的静态增益矩阵K为

其逆矩阵为

则相对增益矩阵为

从相对增益矩阵可知，该系统的耦合相当严重。

相对增益矩阵能够分析静态时系统的耦合程度，而不能用于动态时系统耦合程度的分析。