量子力学的奠基——海森堡与玻恩教授的合作

哥廷根大学浓厚的学术氛围和玻恩教授强大的团队让我如鱼得水，继续寻找着新的量子理论。

玻尔先生在1913年提出的量子理论模型，是假定电子在原子核外固定的轨道上运动，在这个轨道上不辐射能量。电子从一个轨道跃迁到另一个轨道的时候会吸收或辐射一个光量子，两个轨道之间的能量差即为这个光量子的能量hv。玻尔的理论一开始就存在一个致命的问题，即他无法用含时的方程来描述这个轨道之间的跃迁过程。

还有另一个致命问题，根据麦克斯韦方程组，电磁波（光）是周期的，那么玻尔模型中一个绕原子核在固定轨道上运动的电子所能辐射出的光的频率，必须是这个电子绕原子核运动的频率的整数倍。这就引起一个很严重的结果：在量子数为m和n两个轨道上，m和n两轨道间跃迁释放的光量子能量hv（m-n）要等于两个能级差Em-En，同时频率v也要近似为m轨道和n轨道频率的整数倍。这只在m和n都很大，且m-n非常小的时候成立，在其他情况下，玻尔模型就无法自圆其说。

究竟微观世界应该用什么样的理论才能准确描述？这个问题一直困扰着我。1925年6月，我不幸染上了花粉病，即一种对粉尘强烈过敏的鼻炎。我选择了这个夏天去北海上的一个小岛黑尔戈兰岛上度假，让清新的空气和温暖的海风带给我健康的呼吸，同时不断地思考着新的量子理论的突破点。

爬山、读诗集，加上思考量子理论成了我在小岛上宁静生活的全部。拿着这两年其他物理学家发表的大量光谱实验数据（都不符合玻尔模型的预言），我在尝试着用新的模型来解释它。某一天的凌晨，我突然发现如果经典力学中成对出现的力学量符合一个非对易的关系，譬如坐标和动量符合 [x，p] = xp - px不为零，某些计算可能会得到和实验相符的结果。

图3-8　1924年的海森堡

那是凌晨3点，当我写下了最终的计算结果，我深深地被震撼到了，兴奋得无法入眠。于是我离开房子，站在探出海面的一块岩石上迎接日出。

——海森堡，1925年

我在想着玻尔的模型中电子的轨道是一个圆，索末菲老师将这个模型做了改进，使电子的轨道是一个椭圆。但我们真正能从原子中观测到什么？无非是通过它吸收的光和辐射的光来反推电子的动量和能量，而不是它的轨道！如果坐标和动量是非对易的，那电子显然就不会有固定的轨道，是不是问题就出现在这里？

回到哥廷根，我就马上给在汉堡大学做助教的泡利写了信，告诉了他我的想法。泡利是我最信任的师兄，他在去年提出了著名的“不相容原理”，即一个轨道上最多只能占据两个同能量的电子，而这两个电子在外磁场中一个会增加能量，一个会减低，从而区分开到不同的轨道上，使每电子都有一个属于自己的唯一轨道，因此核外电子有了壳层结构。他被誉为物理学界的奇才。

此时，我告诉他，自己正酝酿着一个比他的工作更重大的计划，我想摒弃玻尔模型中电子轨道的概念！

一切对我来说还都有些模糊不清，但看上去电子不再按照轨道运行。我的努力就是推翻和取代那些无法观测的电子轨道概念。

——海森堡1925年写给泡利的信

这篇文章将通过可观测的物理量建立一个量子力学的理论基础。

——海森堡的第一篇量子力学论文节选

玻恩教授看过我的论文后，第一时间鼓励我发表。他思考几日后，又告诉我一个重要的想法：我用的这种傅里叶系数可以用矩阵来表示！

在玻恩教授的鼓励下，我的论文首先得以发表，随后玻恩教授马上和帕斯卡·乔丹合著了一篇用矩阵来描述我的理论的论文，很快在年底之前，我们三人合著了第三篇论文，正式宣告量子力学的第一种形式——矩阵力学的诞生。

文中我们的矩阵力学建立在这几个假定上：

（1）所有的物理量均用厄米特矩阵表示。一个系统的哈密顿量H是广义坐标矩阵X和广义动量矩阵P的函数。

（2）一个物理量Q 被观测到的值，是该矩阵的本征值Qmn。系统能量Emn自然就是哈密顿量H的本征值。跃迁频率vmn= Em-En。

（3）物理系统的广义坐标矩阵X和广义动量矩阵P满足如下非对易关系，这是我们矩阵力学的核心：[x，p]=XP-PX=ih*I，其中 I为单位矩阵。

泡利很快用我们的矩阵力学计算出了氢原子能谱，符合了所有光谱观测实验的预言！我们的工作点燃了整个物理学界，于是1925年成了玻尔的旧量子理论的逝去、全新的“量子力学”的诞生年份。

接下来的1926年，我不断地受邀到欧洲各地讲述我们的矩阵力学。在剑桥大学，一个和我年龄相仿的博士生的提问引起了我非常浓厚的兴趣。他问我是否想过非对易关系和经典力学中的泊松括号之间的对应，即一个经典力学到量子力学完美的对应原理过度。我被他的发现所震动，知道了他叫保罗·狄拉克（Paul A.M.Dirac），一个瘦瘦高高、黑发深眼窝的哥们，比我小半岁，在我的工作启发下决定投入量子力学的研究，他使我感受到了一种强烈的竞争压力。(www.xing528.com)

图3-9　海森堡（右二）和帕斯卡·乔丹（右一）（1927）

图3-10　保罗·狄拉克

我知道海森堡的理论，但我不是很容易接受，也不排斥，因为里面代数用得太多，缺少直观性，理解起来很困难。

——薛定谔，1926年

薛定谔在这一年发表了他的波动方程：ih dψ/dt=Hψ，一个极其简单的形式。我怀疑他是用平面波代入来反推出这个形式，然后假定这个形式对所有的物质波都成立。我一开始也不太接受他的方程，甚至在给泡利的信里写了很悲观的话。

我越想薛定谔理论里的微分方程，越觉不愿接受。薛定谔强调的直观性可能不对，或者说毫无价值。

——海森堡1926年写给泡利的信

图3-11　埃尔文·薛定谔

没想到薛定谔用他的方程解出了氢原子能级！获得了和我们矩阵力学一模一样的结果。玻恩教授随后认为薛定谔的波函数的模平方可以解释成电子的概率分布。这下子物理学界像追赶潮流一样，开始狂捧薛定谔的波动力学。因为和我们的矩阵力学相比，他的方程太容易被物理学家们接受了！我悲哀地发现在乎我的工作的人越来越少，他们都把薛定谔当成了量子力学之父。

这一年的春天，我离开了哥廷根，离开了玻恩教授和内向的帕斯卡·乔丹，前往我第三个老师，也是我一生的恩师玻尔教授那里做助教。没错，他就是那位巨人，我站在他的肩膀上开创了量子力学。我们真是命中注定的一对师徒，随着泡利的到来。从那一天起，哥本哈根成了量子力学的中心。

玻尔教授的风格真是雷厉风行。他一直关注着我们在哥廷根的矩阵力学，一直给予我支持。于是当薛定谔方程横空出世的时候，他要弄懂我的矩阵力学和薛定谔的波动力学到底是怎么一回事，为什么都能得到合理的结果？他马上把薛定谔请来了哥本哈根。不顾薛定谔发着高烧，在床前和他讨论，真是疯狂。玻尔教授满嘴的态，薛定谔满嘴的波，乍听上去真是鸡同鸭讲。

薛定谔回去后，终于发现了他的波动力学和我的矩阵力学是完全等价的，一个是态随时间变化而力学量不变，另一个是力学量随着时间变化而态不变。区别就是随时间变化的因子exp（iHt）是写进我的力学量算符里，还是写进他的波函数里。

1927年，我们在哥本哈根的主要工作是给量子力学建立一个严格的逻辑体系。泡利用波函数的反对称性质重新建立了他的不相容原理。在海峡的另一边，狄拉克整理着我和薛定谔的工作，提出了态矢量、算符、相互作用表象等诸多概念。他成了建立起一套完整的量子力学体系的领头人。

而我在读他们的论文时，一直在思考量子力学的基本原理。考虑波粒二象性，那么对于一个平面波 e-2πi（px-Et）/h，非对易关系 [x，p]=xp-px=ih 自动满足。是非对易关系直接来源于粒子的波动性吗？我发现了他们之间存在一个原理作为桥梁，该原理是非对易关系的直接推论，亦是粒子波动性所导致的一个必然结果，这个原理就是测不准原理（uncertainty principle）。

玻尔教授一直信奉互补原理，即一个物理系统要靠两个互补的力学量来描述。而我的测不准原理刚好是这对互补力学量之间的关系，如坐标和动量ΔpΔx≥h/2，时间和能量ΔEΔt≥h/2，即你不可能同时知道坐标和动量的精确值，也不可能同时知道时间和能量的精确值。

测不准原理作为我们“量子力学的哥本哈根诠释”的一部分，遭到了很多物理学家的反对，包括我们这一代人的偶像爱因斯坦。玻尔教授极力地维护着我们诠释，他和爱因斯坦多年的论战也就此开始。

1927年的索尔维会议就是量子力学的庆功宴，物理学界的大牛们悉数到场。会议结束时我们的合影堪称经典，第一排坐着普朗克、居里夫人、洛伦兹、正中间的爱因斯坦和郎之万等人，第二排坐着狄拉克、康普顿、德布罗意、玻恩、玻尔等人，第三排站着薛定谔、泡利等人，还有我。物理学史上恐怕难以找到第二张这样牛的照片了。

我们认为量子力学是一个完整的理论，它的物理和数学基础假设已经不会轻易改变。

——海森堡和玻恩，1927年索尔维会议论文

图3-12　1927年索尔维会议全家福