光学系统的线性和空间不变性

设光学系统物平面上的强度分布函数是δi（x），相应地在像平面上就会产生一个强度分布

如果此系统成像符合以下关系：

其中ai为任意常数，这样的系统就称为线性系统。如果将物和像分别作为光学系统的输入和输出，则一般来说，在非相干光照明条件下，光学系统对光强分布而言是一线性系统。

所谓空间不变性就是系统的成像性质不随物平面上物点的位置不同而改变，物平面上图形移动一个距离，像平面上的图形也只是相应地移动一个距离，而图形本身不变。设

如果系统满足空间不变性，则以下关系成立：

其中，β为系统的垂轴放大率，通常把 β 归化等于1，这个假定不会影响讨论的实质。

同时满足上面两个条件的系统称为空间不变线性系统。实际上，只有理想光学系统才能满足线性空间不变性的要求。而实际的成像系统，由于像差的大小与物点的位置有关，一般不具有严格的空间不变性。但是，对于大多数光学系统来说，成像质量即像差随物高的变化比较缓慢，在一定的范围内可以看作空间不变的。如果系统使用非相干光照明，则系统也近似为一线性系统。因此，总是假定光学系统都符合线性空间不变性，这是光学传递函数理论的基础。(www.xing528.com)

空间不变线性系统的成像性质：如果系统符合线性，就可以把物平面上任意的复杂强度分布分解成简单的强度分布，把这些简单的强度分布图形分别通过系统成像。因为系统符合线性，把它们在像平面上产生的强度分布合成以后就可以得到复杂图形所成的像。也就是说，系统的线性保证了物像的可分解性和可合成性。在傅里叶光学中，把任意的强度分布函数，分解为无数个不同频率、不同振幅、不同初位相的余弦函数，这些余弦函数称为余弦基元。这种分解的运算就是傅里叶变换。

设物平面图形的强度分布函数为I（y，z），则为把I（y，z）分解成余弦基元后，不同空间频率的余弦基元的振幅和初位相：

在数学上称为I（y，z）的傅里叶变换，在信息理论中，称为I（y，z）的频谱函数。原则上说知道了I（y，z）就可以求出它的频谱函数，反过来，如果我们知道了一个图形的频谱函数也就可以把那些由频谱函数确定的余弦基元合成，得出物平面的强度分布I（y，z）：这就是根据线性导出的系统的成像性质。

若把ei2π（μy+νz）称为一个频率为（μ，ν）的余弦基元，则由上面知道物分布可以看作是大量余弦基元的线性组合，相应地对于像光强分布I′（y′，z′）同样有

从上面的分析知道，如果系统满足空间不变性，则一个物平面上的余弦分布，通过系统以后在像平面上仍然是一个余弦分布，只是它的空间频率、振幅和初位相会发生变化。空间频率的变化，实际上就代表物、像平面之间的垂轴放大率，关系比较简单。前面已经假定把它归化成1，这样物、像平面之间的空间频率不变，而只是振幅和初位相发生变化。