分布式自适应功率分配优化

前面我们讨论了中继总功率受限和单个中继功率受限下的波束赋型。如前文所述，分布式波束赋型方案的最优设计的主要问题在于寻找最优的功率分配因子。如何在总功率约束条件下对所有中继进行功率分配或者分布式地控制每个中继的发射功率以满足单中继功率约束条件是系统设计的关键。在优化过程中，我们一直没有考虑源节点的发射功率。在实际的无线传感器网络中，为了延长传感器节点的使用寿命，降低网络的总功率是非常重要的，总功率是指包括源节点和中继节点在内的所有终端的功率。

本节我们将主要讨论源节点和中继节点间功率分配的最优化问题，并找到可以使总体接收SNR最大的功率分配方法。由于系统的误比特率是接收SNR的单调减函数，所以使接收SNR最大也就等同于使系统误比特率最小。我们发现要找到一个精确的表达方法并不是一件简单的事，所以我们在计算功率分配参数时转而采用接收SNR上界。从仿真结果可以看出，针对两跳中继网络提出的功率分配方案相比于等功率分配可以获得更显著的接收SNR增益，此增益随着中继数的增大而单调增加。这说明分布式自适应功率分配策略对于无线中继网络的系统性能优化、总功率的降低具有重要的意义。

在一个实际系统中，接收端可以计算功率分配因子，然后通过反馈链路将功率分配因子反馈/广播到源节点和所有中继。源节点和中继根据反馈值调整自身的发射功率。在传统的无线系统中，有很多论文讨论了功率分配问题^[435，436]，一些算法经修改后可应用于分布式系统。

3.4.1.1 系统模型

我们以包含多个中继节点的两跳无线分集中继网络为研究对象，如图3.5所示。系统包括一个源节点、多个并行的中继节点和一个接收目的节点。令hⁱ_SR、hⁱ_RD和h_SD分别表示源节点到第i个中继节点、第i个中继节点到目的节点以及源节点到目的节点的信道衰落，假设它们都服从独立的零均值复高斯随机分布。我们考虑准静态衰落信道，即每帧内信道不变化，而帧间信道独立变化。假设源节点到目的节点、源节点到每个中继和每个中继到目的节点的信道相互独立。进一步假设每个中继使用的信道相互正交，也就是说目的节点可以区分出不同中继的发射信号而不受到其他中继的干扰。

源节点首先将信息信号x广播至目的节点和所有中继，第i个中继处和目的节点接收到的信号yⁱ_SR和y_SD分别表示为

式中，{|x²|}=1；p_S是源节点的发射功率；和分别表示源节点到第i个中继节点和到目的节点的信道增益；d_SR，_i和d_SD分别表示源节点到第i个中继节点和到目的节点的距离；d₀是参考距离；G₀是关于载波波长的常数；K是路损因子，其取值一般在（2，6）之间。nⁱ_SR和n_SD是单边谱密度为N₀/2的零均值复高斯随机变量。不失一般性，本节中认为噪声服从相同的分布，而不同的噪声功率可以通过调整信道增益进行恰当的补偿。

中继节点在接收到源节点发出的信号后，对信号进行放大转发：

式中，μ_i表示放大因子：

其中，α_R，iP，i=1，…，n表示对第i个中继分配的功率，且系统功率之和不超过总功率限制P：

令p_s=α_sP，则式（3.170）可以写成

从式（3.169）可以计算放大因子μ_i为

相应地，目的节点的接收信号可以表示为

式中，Gⁱ_RD=G₀（d_RD，i/d₀）-κ/2指源节点到中继i的信道增益，d_RD，i指中继i到目的节点的距离，nⁱ_RD是单边谱密度为N₀/2的服从零均值的复高斯随机变量。

将式（3.166b）和式（3.173）中的接收信号进行合并，得到

式中，ω_S和ω_R，i，i=1，…，n，是合并因子。相应地，接收SNR，用γ_AF表示，可以从式（3.174）中推出

为使SNR最大化，可以对ω_S和ω_R，i（i=1，…，n）求偏导，从而最优值为

将式（3.176）代入式（3.175），γ_AF可以表示为

将式（3.172）代入式（3.177），最后可以得到

式中，a=|G_SDh_SD|²，b_i=|Gⁱ_SRhⁱ_SR|2，c_i=|Gⁱ_RDhⁱ_RD|2。当每个中继使用其最大传输功率α_R，iP时，γ_AF可以达到其上界

这时，系统的最优化问题即为下述条件下γ_AF的最大化问题：

使用拉格朗日乘数法，对式（3.178）求偏导得(www.xing528.com)

式中，λ为拉格朗日乘数。α_S和α_R，i（i=1，…，n）的值可以通过式（3.180）、式（3.181a）和式（3.181b）推导得出。

3.4.1.2 分布式自适应功率分配

一般来讲，基于准确SNR表达式的闭式功率分配算法是很复杂的。本节通过计算接收SNR上界从而推导出相应的功率分配方案。

在高SNR的情况下，式（3.178）的接收SNR可以近似为

这里我们使用了不等式，则式（3.182）中的SNR上界在c_iα_R，i=b_iα_s（i=1，…，n）时可以达到。接下来，我们使用SNR上界来求最优功率分配方案。通过使用拉格朗日乘数，我们可以推出下式：

从式（3.185）可以得出

将式（3.186）代入式（3.184），得到

令，式（3.187）可以写成

解上式，得到

因为，所以只有唯一解

从而有

从上式可以得到如下的功率分配方案：

从式（3.191a）和（3.191b）可以看出，对于任意取值的a、b_i和c_i，条件0≤α_S≤1和0≤α_R，i＜1都满足。从式（3.191a）可知，中继i上分配的功率与源-中继i-目的节点的等效信道增益成正比，我们将这条链路定义成第i条中继链路，则第i个中继分配的功率与第i条中继链路的信道增益成正比。对于链路质量好的中继分配更多的功率，对于链路质量差的中继分配更少的功率，这正与传统单链路通信系统的结论相似。最后将式（3.191b）和（3.191a）代入到式（3.178）中，则最大接收SNR可以表示为

3.4.1.3 仿真结果

本节我们对带有自适应功率分配的AF系统进行仿真评估。为了讨论简单，我们假设所有中继节点到源节点与到目的节点的距离都相等，即dⁱ_SR=d_SR，dⁱ_RD=d_RD，（i=1，…，n），则有Gⁱ_SR=G_SR，Gⁱ_RD=G_RD，（i=1，…，n）。假设信道根据距离d_SD进行归一化处理，即有G_SD=1，且路损因子K=2。我们考虑以下4种场景：

场景一：G²_SR=G²_RD=G²_SD=1，此时所有信道增益相同。

场景二：G²_SR=4G²_SD，G²_RD=G²_SD=1，此时中继更接近源节点。

场景三：G²_RD=4G²_SD，G²_SR=G²_SD=1，此时中继更接近目的节点。

场景四：G²_SR=G²_RD=4G²_SD，此时中继位于源节点和目的节点的中间位置。

图3.27表示了不同中继数下AF协同系统中，分布式自适应功率分配与平均功率分配的平均接收SNR增益对比，其中功率分配方案根据式（3.191a）和式（3.191b）可得。从图中可以看出，采用自适应功率分配的平均SNR增益随中继数的增加而增加。例如，在场景一和场景三中，n=2时SNR增益为2.5～3dB，当n=10时则为5dB左右。这说明在中继数目很多的系统中自适应功率分配非常有效。

图3.27 AF中继网络中自适应功率分配的SNR增益