包络与功率衰落的统计特性分析

根据式（2.15），可以通过将各级彼此独立的中继衰落信道进行级联，来建立端到端衰落信道的模型。另外，如果某一段中继信道衰落符合“匙孔”特征，也可以用级联衰落信道来描述该信道的特性，如双瑞利信道。从匙孔特征传播的角度，可以对级联瑞利信道采用统计分析的方法^[264，265]。例如文献[266]中给出任意级数的乘积项来表示级联瑞利信道。文献[140，267]从透明中继的角度同样也给出了一种统计分析方法。

接下来我们将讨论信道包络和功率衰落的概率密度函数，并分析它们与端到端信噪比之间的关系。需要注意的是，这里讨论的数值关系要比再生信道情况下更为复杂，因为拓扑结构、放大系数的选择等都将影响系统的端到端特性。

2.4.2.1 固定放大系数条件下的级联衰落分布

假设式（2.15）的放大系数为常数A，即放大倍数或平均放大倍数固定，如式（2.17）或（2.18）所示。我们将分布式级联的一些研究结果简要总结如下：

（1）级联瑞利衰落

双瑞利信道是两个复杂高斯过程的乘积，即h=h₁h₂。h的幅度/包络为a=|h|=|h₁||h₂|=a₁a₂，增益/功率为g=|h|²=|h₁|²·|h₂|²=g₁g₂。因此双瑞利衰落的功率分布是自由度为2的两个中心卡方分布的随机变量的乘积，式（2.24b）描述了其概率密度函数。根据随机变量乘积的概率密度函数变换公式，可以推导出如下的概率密度函数：

这里的最后一步推导基于Ryzhik和Gradstein的文献[268，3.471.9节]，K₀（·）是零阶第二类修正贝塞尔函数。运用式（2.23）提供的概率密度函数变化规则，可以得到级联瑞利过程包络的概率密度函数如下：

正如文献[151]所述，与简单瑞利衰落信道相比，双级联瑞利衰落信道会信号传播影响更严重。

通过Mellin变换或H函数，Salo等人在文献[266]中得到了N阶级联瑞利衰落信道（可表示为N*瑞利衰落信道）的包络和功率的概率密度函数表达式为

式中，是每个独立瑞利衰落中继信道的平均功率之积；是i个中继段的放大系数的乘积。更进一步，我们将N*瑞利衰落信道的累积密度函数表示为

该表达式可以直接应用在固定放大系数的情况和式（2.17）所描述的平均放大系数固定的情况，对于式（2.18）所描述的平均功率放大的情况，系统放大系数表示如下^[168]：

其中，σ²_i是第i级中继段的输入噪声；P_i是第i级中继段的发送功率；；G₀（·）是Meijer-G函数：

这里的z、和为复数形式，通过选择等高线的值可以分隔分子中伽玛函数乘积的极点^[266]。Meijer-G函数已经在一些商业数学软件中得以实现，这也正是文献[266]中可以给出更逼近的估计的前提。另外，Meijer-G函数可以表示为更为通用的超几何函数的形式^[268，269]。

（1）级联莱斯衰落

通过式（2.121）的推导过程和式（2.126）所示的概率密度函数，可以得到文献[267]所述的积分形式的包络和功率分布，但至今仍没有方法描述双莱斯衰落分布。Kara-giannidis在文献[168]中得到了双莱斯衰落信道的一些边界条件和衰落所需的放大系数。这些结果同样可以直接应用在固定放大系数的情况和式（2.17）所描述的平均放大系数固定的情况，对于式（2.18）所描述的放大均值情况，系统的放大系数需要表示为^[168]：

当每个中继段的衰落系数K_i取值足够大时，可以用莱斯衰落分布来近似描述级联莱斯衰落的衰落系数

双级联衰落的衰落系数因此可化简为K=K₁K₂/（K₁+K₂）。对应地，考虑放大系数后，式（2.26）的概率密度函数可写做1/A·p_a（a/A）和1/A²·p_g（g/A²），对于累计密度函数也需要做同样的改动。

（2）级联Nakagami-m衰落

尽管还未得到实地测量结果的验证，双级联Nakagami衰落的包络和功率的概率密度函数可以由双瑞利衰落的概率密度函数近似得到

式中，m₁是第一个中继段的Nakagami衰落因子；m₂是第二个中继段的Nakagami衰落因子；K_n（·）是n阶第二类修正贝塞尔函数。

根据文献[270]所述结论和文献[266]所述的近似方法，可以得到N*Nakagami衰落信道的包络和功率的概率密度函数为

该函数如果没有在数学软件中实现，那么需要在使用它时进行必要的近似。N*Nakaga-mi衰落信道的包络和功率的累积密度函数如下所示：

从放大系数的角度看，以上结果可以直接应用在固定放大系数的情况和式（2.17）所描述的平均放大系数固定的情况，对于式（2.18）所描述的放大均值的情况，系统的放大系数需要这样表示^[168]：

式中，m_i是第i段链路的Nakagami衰落因子。

综上所述，双级联Nakagami衰落可以通过闭型解或数学估计进行求解，但是广义高阶级联信道的表达式通常只能通过无穷级数展开进行求解^[266]。(www.xing528.com)

2.4.2.2 可变放大系数条件下的级联衰落分布

假定式（2.15）中存在可变的放大系数A。首先考虑噪声功率较高的渐近区，即低信噪比的情况下，式（2.16）的分母对于信道的影响将会忽略不计，可变放大系数问题也可简化为固定放大系数。在噪声功率较低的渐进区，信道的信噪比较高时，式（2.16）的分母对于信道的影响同样可以忽略，可变放大系数可以简化为单一信道的情况。但作者在撰写本书时发现这种放大系数可变的信道的统计特性目前还并不为人所知。文献[140]中讨论了形如式（2.16）的放大系数下的两跳透明中继场景，得到了可变放大系数下端到端透明中继信道的功率表达式为

该表达式和固定放大系数的端到端透明中继的信道的信噪比表达式具有相似的结构，因此可以通过修改后者的信噪比表达式，将信噪比SNR替换为信道功率，将常数替换为σ²₁/P₁，并进行P₂/P₁的比例缩放，便可以通过式（2.23）所述的概率密度函数变换公式得到包络表达式。文献[165，167，271，272]给出了双跳瑞利信道下的相关结果。拓展到一般的多跳中继情况，文献[168，270，273-276]给出了不同放大系数和其他信道的统计分布。需要特别注意文献[168，275]的相关讨论，根据其中的一些推导结果可以得出各中继段在任意统计分布情况下，端到端衰落分布表达式的边界点。本节将这些级联衰落分布的相关研究结果总结如下：

（1）级联瑞利衰落

对于简单的两跳透明中继系统，我们参考Hasna和Alouini的文献[140]中的论述，根据文献[167]推导出信道包络和功率的概率密度函数分别为

因此信道的包络和功率的累计密度函数分别表示为

在本书的写作过程中，现有的理论研究还未给出一般衰落场景的闭式解，但文献[168，276]给出了Nakagami衰落条件（m_i=1，∀i）下多跳网络的一些边界和近似值。

（2）级联莱斯衰落

和固定增益系数的情况相同，目前可以得到积分形式解以替代闭型表达式。文献[168]中提出几何均值上限约束条件下端到端信道功率的调和平均值表达式，从而进一步推导出几何均值的上限统计矩。该统计矩可以用于性能分析^[277]，也可以通过一系列MGF的展开，重建端到端衰落信道的近似概率密度函数^[278]。根据文献[168]中Karagiannidis的分析，莱斯衰落的边界可以表示为

式中，，Ci=σ²_i/P_i，1F₁（·，.；.）是Kummer合流超几何函数。在各中继段的莱斯衰落系数K_i足够大时，可以用莱斯衰落分布来近似描述整个信道的分布

对于双级联莱斯信道，莱斯衰落系数化简为K=K₁K₂/（K₁+K₂），从而可以应用前文讨论的莱斯信道的概率密度函数和累积密度函数公式。

（3）级联Nakagami-m衰落

两跳Nakagami衰落信道的包络和功率累积密度函数的闭型解可以通过以下推导得到，例如Tsiftsis等人在文献[279]中所述的方法：

式中，

且，，而包络和功率的累积密度函数如下所示：

文献[168]给出N个中继段的系统中，信道功率矩的上限表示为

式中，，C_i=σ²_i/P_i。我们假定中继仅对前一跳中继的瞬时信道衰落求逆，从而推导出端到端信道概率密度函数的边界值^[276]。

在本书中我们反复说明以下事项：高阶的级联信道同样可以推导出相应结果，但结果会是一系列复杂的数学表达式。

2.4.2.3 与信噪比的联系

由于端到端信噪比在系统性能中占据重要的地位，所以下面将简要讨论信道功率和信噪比统计数据之间的关系。透明中继情况下，这种关系并不像再生中继情况下那样简单，在文献[273]中介绍了端到端信噪比γ的通用表达式为

式中，γ_i=a²_iE_s/N₀，E_s为符号能量，N₀为功率谱密度。对于A²_i=1/（Cσ²_i）的固定系数放大情况，我们可以将γ的表达式化简为

对于A²_i=1/（a²_i+σ²_i）的可变放大系数情况，上式又可以化简为

而端到端信噪比的概率密度函数p_γ（γ）通常很难求解，需要援用数值或基于矩的方法。