空时衰落特性分析

现在我们将前一节时间特性的分析延伸到空间域。在空间域中，发射机和接收机都配有多根天线。我们先从典型场景中基本的系统假设入手，然后从标准场景延伸到其他场景。

2.3.4.1 系统假设

有许多文献专门针对多输入多输出（MIMO）的MS-MS的场景进行了研究。在该场景中，发射机配置了L_t根发射天线，接收机配置了L_r根接收天线，所有的天线都能获得信道的时间和空间特性。文献[172，188-191]将2.3.3节讨论的模型进行了扩展，实质上是分别将SISO窄带模型、二维双环散射模型、二次反射射线模型扩展到MIMO模型。这种模型通过加入LOS分量可以进一步扩展到莱斯衰落信道^[192]，还可以继续扩展到不仅具有二次反射分量和LOS分量还具有单次反射分量的场景^[173]。在这种场景下可以扩展出另一种场景，发射机和接收机位于椭圆散射环的焦点，从而很容易适用于各种类型的MS-MS的传播环境，如室外宏小区、微小区和微微小区。文献[196]中讨论了散射体不是以双环形式分布，而是沿着街道峡谷以确定的形式分布。最后，窄带模型、二维双环散射模型、二次反射射线模型扩展到三维场景已经在文献[197，198]中给出了详尽的介绍。

这里我们将引用从文献[173]中获得的结果，该场景虽然比文献[172，188-191]更具有一般性，但是不如文献[193，197，198]复杂。下面的讨论中，我们根据这个模型中的一些参数估计各种真实环境的传播特性。我们所引用的文献[173]中的模型遵从2.3.3节给出的假设条件，同时也服从下面的假设条件：

●MIMO发射机和接收机之间存在LOS分量。

●LOS分量的存在增加了单次反射分量存在的可能性。

●合成的模型是视距、单次反射射线和二次反射射线的叠加。

图2.25给出了对该场景的描述。我们考虑发射机和接收机分别配有n_t和n_r根全向天线。这种基本的天线配置可以用来构建许多其他类型的二维多元天线阵列，如均匀线性阵列、矩阵阵列、六角阵列和圆环天线阵列^[172]。发射端和接收端的天线阵元之间的距离分别标记为Δd_t和Δd_r。坐标系中阵列的方向分别为θ_t和θ_t。

图2.25 MIMO再生中继信道的双回波双环模型

注：单次反射分量和视距分量与二次反射分量具有相同的原理，这里不再讨论

其余的符号与在SISO场景中的定义一致。最后以发射机为原点建立坐标系。发射机以速度ν_t朝着角度γ_t的方向移动，接收机以速度ν_r朝着角度γ_r的方向移动。发射机和接收机周围分别有M和N个散射体。从发射天线p发射的波与发射机周围的第m个散射体碰撞，产生α_pm的离开角（AOD）。从发射天线p发射的波与接收机周围的第n个散射体碰撞，产生α_pn的离开角（AOD）。发射机周围的第m个散射体反射的接收波入射到接收天线q，产生α_mq的到达角（AOA）。发射机周围的第n个散射体反射的接收波入射到接收天线q，产生α_nq的到达角（AOA）。发射天线p与接收天线q之间的LOS分量的角度记做α_pq。

发射机和接收机间的距离为D。发射机和接收机的散射环半径分别为R_t和R_r。d_pm是第p根发射天线和发射机周围的第m个散射体之间的距离，d_mq是发射机周围的第m个散射体和第q个接收天线之间的距离，d_pn是第p根发射天线和接收机周围的第n个散射体之间的距离，d_nq是接收机周围的第n个散射体和第q个接收天线之间的距离，d_mn是发射机周围的第m个散射体和接收机周围的第n个散射体之间的距离，d_pq是第p根发射天线和第q个接收天线之间的距离。

基带窄带信道的实现可以看做是LOS分量、在发射机单次反射（SBT）和在接收机单次反射（SBR）的单次反射分量和二次反射分量的叠加。对于第p根发射天线和第q根接收天线之间的信道，有^[173]：

其中，各个分量的表达式为

式中，忽略下标和上标，a和ϕ分别是由波和散射体相互作用而产生的信道增益和相位偏移；f是由发射机和接收机移动而产生的多普勒频移；kd是由波从发射机传播距离d到达接收机时引入的相位偏移。这些变量可以按照以下公式计算得到：

（1）幅度

幅度遵循2.3.3节给出的推导。另外，分配给发射天线p和接收天线q之间的LOS分量的功率为K_pq/（1+K_pq），分配给非视距分量部分的功率为1/（1+K_pq）。因为max（δ_t，δ_r）＜＜min（R_t，R_r），我们可以假设所有天线的莱斯衰落因子都相同，即对所有的1≤p≤n_t和1≤q≤n_r，都有K_pq=K。也可以假设分配给单次反射发射分量、单次反射接收分量和二次反射分量的相对功率分别是η_t、η_r和η_tr，并且η_t+η_r+η_tr=1。这些参数或者在仿真时设定或者根据测量来确定。我们可以通过下面的公式计算：

注意，尽管到达接收机的单次反射和二次反射可能都来自于发射机周围第m个散射体，它们很可能仍然是不相关的。这是因为我们假设第m个散射体的表面发散作用使得波朝各个互不相关的方向传播。

（2）相位

由发射机的第m个散射体引入的相位偏移与接收机的第n个散射体引入的相位偏移是彼此独立的，即

而且，所有涉及到的相位偏移ϕ_m^SBT、ϕ_n^SBR、ϕ_m^DB和ϕ_n^DB都可以认为在[0，2π）内均匀分布，并且彼此相互独立。

（3）多普勒频移

多普勒频移取决于发射机或接收机的移动方向和波出射或到达方向之间的几何关系：

其中，和f分别是发射机和接收机的最大多普勒频移，它们分别由和f=f_cv_r/c=v_r/λ给出，f_c是载波频率，λ是波长。因为max（R_t，R_r）＜＜D，视距角α_pq约等于π，即α_pq≈π。而且，因为max（δ_t，δ_r）＜＜min（R_t，R_r），对于所有的p，α_pm都几乎不变，我们将它标记为α_t^（m）。同样地，α_pn≈α_t^（n），α_mq≈α_r^（m），α_nq≈α_r^（n）。注意，与SISO的场景类似，因为任意一端的散射体的数量趋于无穷大，所以这些离散的随机角度的概率密度函数都是连续的。

（4）路径长度

如图2.25所示，波的路径长度可以由下式表示：

下面分两种情况讨论，即D明显大于max（R_t，R_r）的情况和D与max（R_t，R_r）相近的情况。后者主要发生在室内并要求能精确地表示所有的距离，具体闭式表达式可参见文献[173]。对于D＞＞max（R_t，R_r）的情况，可以对单个路径长度运用下面的简化表达式^[173]：

其中，p∈{1，…，n_t}，q∈{1，…，n_r}。而且，我们定义，δ_r=R_t/D，δ_r=R_r/D。

现在我们可推导出与MS到MS再生MIMO衰落信道相关的时间和空间的关键变量。

2.3.4.2 典型场景

根据文献[173]，空时相关函数（STCF）和它的功率谱密度（PSD）可以按照下面的公式计算。

（1）空时相关函数（STCF）

使用上面的变量和式（2.39）中相同的方法，发射接收天线对pq和其他天线对pq之间的合成衰落信道的STCF由下式给出：(www.xing528.com)

其中，各个相关函数可从文献[173]中获得，并可通过下面的公式计算得到：

其中，I₀（·）是修正的第一类0阶贝塞尔函数。其余的变量由下式表示：

其中，发射端和接收端分别服从均值μ_t、参数κ_t和均值μ_r参数κ_r的vonMises分布，式（2.44）已经给出了这种分布。正如文献[173]所述，上面的STCF可以简化成许多特殊的场景，像均匀散射分布、移动终端固定时（FixedMobile）等。

（2）多普勒功率谱

多普勒功率谱可由上述的STCF对于时间间隔进行傅里叶变换得到空间多普勒功率谱密度。运用式（2.40）～式（2.60）中的变换关系可以生成下面的式子^[173]：

其中，各个功率谱密度如下^[173]：

其中，*代表了频率f的卷积。其他变量的表达式如下：

要注意的是，本书中并没有给出二次反射形式卷积的精确表达式，但是包含在该形式中的任何数值计算方法都是相当简单的。

（3）电平交叉率（LCR）

这里，我们不能精确地描述电平交叉率（LCR），但是可以参考2.3.5节的宽带场景，这些宽带场景的表述可以简化为延迟为0的窄带形式。

（4）平均衰落时长（AFD）

在这里，我们不能给出精确的表达式，但是通过与2.3.3节相同的方法可以很容易地获得该表达式。

根据上面笼统的表达式，我们可以研究一些参数的相关函数和它的频谱密度的特性。

2.3.4.3场景分析

现在我们研究上面公式中的一些参数，其中，我们会重点关注空时相关函数（STCF）。

（1）2×2MIMO，二维各向同性散射，二次反射分量

当只假定各向同性散射，并且只有二次反射分量时，STCF可简化为^[189，190]：

其中，J₀（·）是第一类0阶贝塞尔函数。为了达到上面的结果，我们需要对上面的公式进行

参数设计：K=0，η_t=0，η_r=0，η_tr=1，κ_t=0，κ_r=0，μ_t=0，μ_r=0，p=1，，q=1，。图2.26和图2.27给出了两个STCF的实现，相关的参数在各自图形的说明中给出。

图2.26 空间域和时域不相关

注：v_t=v_r=1m/s，λ=15cm，γ_t=γ_r=0，θ_t=θ_r=π/2，Δd=Δd_t=Δd_r

图2.27 终端的快速移动使得时域相关性降低得更快

注：v_t=5m/s，v_r=1m/s；λ=15cm，γ_t=γ_r=0，θ_t=θ_r=π/2，Δd=Δd_t=Δd_r

（2）2×2MIMO，二维各向异性散射，视距分量+单次反射发射分量+单次反射接收分量+二次反射分量

相关函数在这种场景中会呈现出一些有趣的特性，如图2.28所示。为了求这些相关函数，我们设定下面的参数集：λ=0.3m，θ_t=π/3，θ_r=π/4，γ_t=γ_r=π/2，η_t=η_r=0.4，η_tr=0.2，κ_t=2，κ_r=5，μ_t=μ_r=0，δ_t=δ_r=0.01，p=1，，q=1，。其余的参数因场景不同而取不同的值，并在图2.28中给出，其中场景#1基于高移动性非视距传播，场景#2基于高移动性视距传播，场景#3基于非视距传播的低移动性和更大的天线间隔。从图中可以观察到，最大的时空相关值不一定必须要完全没有延时。因此，在莱斯信道中信道相关性最高。

图2.28 载频f_c=2GHz，给定空间位置时的相关函数的包络和时间偏移的关系

注：场景#1：K=0，v_t=1m/s，v_r=5m/s，Δd_t=Δd_r=λ/2

场景#2：K=10，v_t=1m/s，v_r=5m/s，Δd_t=Δd_r=λ/2

场景#3：K=0，v_t=10m/s，v_r=1m/s，Δd_t=Δd_r=λ

其他的场景也可以按照类似的方法研究，所属的变量也可以按照相同的方法进行定量分析。