信道建模中电平交叉率的应用与挑战

正如已经在1.2节中提到的，并不是对信号求平均就可以观察到衰减，因为信号功率围绕路损还会有一定波动，这是由信号通过多条途径传播时产生的叠加和抵消造成的（见图2.7）信号功率可以由信道的冲激响应表示为

其中，h一般是复信道系数；a_i是振幅；ϕ_i是相位；τ_i是时延。如图2.6所示，不可分辨的符号内干扰由多径分量i的振幅a_i和相位ϕ_i建模，可分辨的符号间干扰可由不同的多径分量i与相应的时延τ_i来建模。

2.2.3.1 重要参数

下面对信道建模过程中的一些重要参数进行详细讨论：

●振幅a_i。对于一个多径分量i，由于许多符号内分量的随机叠加，使得信道幅度或包络a_i是一个随机变量。不同条件下观察到的a_i的统计特性不同。例如，如果存在一个较强的视距传播分量，那么a_i（其增益/功率g_i=a_i²）服从莱斯（非中心卡方）分布；如果所有的分量都是随机分布的，则幅度a_i服从瑞利（中心卡方）分布；如果某些分量相位一致，则观察到的a_i服从Nakagami-m（伽玛）分布等。请注意，虽然i=1表示的第一个信道多径分量服从不同的分布，但i≥2表示的其余多径分量通常服从瑞利衰落，因为它们是由同样的随机分量组成的。对这些幅度及功率的具体描述在文献[135]中可以找到，本书也将在需要时对此有所描述。

●相位ϕ_i。多径分量i的相位ϕ_i是一个随机变量，这也是由许多符号内波形分量的随机叠加造成的。它通常但不一定是均匀分布的。相位分布会影响系统的性质，并且也可用来计算信道的自相关函数的近似值^[140]。

●时延τ_i。严格地说，τ_i也是一个随机变量，但是，为了便于建模，通常假定τ_i=iΔτ，其中Δτ通常等于符号周期T_s或其倍数。这就产生了如图2.5所示的瞬间时延特性。利用式（2.6）所得到的功率求平均，得到经常使用的功率延迟分布

如图2.9所示。描述功率延迟分布（PDP）的重要参数是总功率增益，过量延迟τ_excess=τ_{last resolvable tap}-τ₁，平均延迟，最重要的是均方根时延扩展，其定义为

图2.9 无线信道典型的功率延迟分布（PDP）

所有的这些参数（包括包络、相位、时延特性）的统计实现很大程度上依赖于时间和地点。对于一个固定的位置，由于环境的流动性，这些值随时间的变化而改变。同样，对于一个固定的时刻，这些值也随空间位置的变化而变化。

2.2.3.2 选择性与非选择性

这些参数的相互作用使信道h在频域、时域和空间域呈现不同的衰落特性。

（1）频域——平坦与选择性衰落

如图2.5所示，信道h在频域的衰减是由构成功率延迟分布的多径分量形成的。一个重要的概念是频谱自相关函数，它被定义为

R（Δf）=E{H（f）H^*（f+Δf）} （2.8）

其中，H（f）是h关于τ的傅里叶变换，它决定了一个信号经过频移Δf之后的自相似度。信道被认为在相干带宽B_c上维持基本不变，经过频移Δf后R（Δf）几乎不变。相干带宽与环境有关，并影响功率延迟分布（PDP）。一些建议认为相干带宽与系统的RMS时延扩展成反比，即B_c=1/τ_RMS。联系到符号带宽B_s=1/T_s，该信道的相干带宽B_c是在无线通信系统中的一个重要的概念，因为它可确定信道是平坦衰落信道还是频率选择性衰落信道。因此，如果B_s＜B_c，则该系统是平坦衰落信道，否则为频率选择性衰落信道。由上述关于相干带宽的定义可以看出，将问题放在时域中进行理解更直观。也就是说，如果T_s＞τ_RMS，则该信道平坦衰落，这意味着所有的信道多径分量（MPC）几乎同一时间到达，因此唯一一条多径分量可被分辨出来，信道因此简化为h=ae^jϕ。另一方面，如果T_s＜τ_RMS，则有一个以上的信道多径分量可以分辨出来，从而导致符号间干扰（ISI）。

上述两种衰落信道的区别方法对于选择收发机设计有很大的影响。现代通信系统逐渐使用周期越来越短的符号，系统似乎逐渐都成为频率选择性系统，从而导致严重的符号间干扰。这个缺陷也是现代收发机面临的挑战，目前已经有三个重要的解决方法。第一，可以使用均衡器，它实际上提供一个有效的式（2.6）的逆函数的滤波器。当需要均衡的多径分量数目变多时，这种方法就不太适合了。第二，可以使用扩频技术，这有利于部署Rake接收机，以收集各个多径分量上的功率g_i。然而，正如在5.5节所讨论的，从执行情况看，Rake接收机分支有数量上的限制。第三，使用低复杂度的如正交频分复用（OFDM）技术，将频率选择性信道变为频域平坦系统，但在后面5.6节中讨论中会提到，对于OFDM的实现同样存在一些缺点。

（2）时域——慢衰落与快衰落

该信道在时域振幅a_i和相位ϕ_i随时间变化，在这里重要的概念包括：时间自相关、电平交叉率和平均衰落周期，所有这些概念都与随机信道h的二阶矩联合有关。时间自相关函数定义为

它用于决定一个信号在时移Δt之后的自相似度。假定该信道在相干时间T_c上基本保持不变，即在经过时移Δt后R（Δt）几乎保持不变。显然相干时间取决于环境和它的移动性（由多普勒频移来反映）。一些建议表明，相干时间与系统最大多普勒频移是成反比的，即T_c≈。结合符号周期T_s，可知信道的相干时间T_c在无线通信中是一个重要的概念，它决定了信道是慢衰落还是快衰落。因此，如果T_s＜T_c，则该系统是慢衰落，否则为快衰落。两种衰落之间的区别对调制、导频密度等选择会产生较大的影响。(www.xing528.com)

此外，电平交叉率（LCR）被定义为每秒钟随机数ξ在正方向超过一个阈值水平ξ_thr的次数，其函数表示为

其中，是ξ和它的基于时间的导数ξ·的联合概率密度函数（PDF）。电平交叉率的概念对于单个多径分量的振幅以及增益分析是很重要的，对于前者ξ=a，对于后者ξ=a²=g。当把电平交叉率的概念应用到式（2.6）给定的信道上时，上述表达式中将涉及到不同的a_i和ϕ_i的联合概率密度函数，因而一般很难给出解析表达式。出于这个原因，解析表达式往往只适用于窄带情况。

最后，平均衰落时长（AFD）是随机数ξ低于ξ_thr的平均时间，表示如下：

其中，P_out（ξ_thr）是该事件的中断概率，P_out（ξ_thr）=。平均衰落时长可用于计算信道的幅度和功率。

（3）空间域——选择性与非选择性衰落

由于式（2.6）中所有随机变量随物理位置变化，因此信道在空间域也会发生变化。这对多输入多输出（MIMO）系统非常重要，有利于部署多个发射和接收天线。这方面的一个重要的概念是空间自相关函数，其函数表示为

它决定了一个信号在移动距离Δd之后信号的自相似度。假设该信道在相干距离d_c之内保持不变或变化不大，即移动距离Δd后R（Δd）几乎保持不变。显然相干距离取决于环境，一些建议表明，它与输入/输出信号的角度扩展是成反比的。结合天线空间d_a，如果有d_a＜d_c，则该系统为空间非选择性衰落，否则为空间选择性衰落。它们之间的区别对MI-MO系统的性能有重要的影响，如图2.10所示，其中天线单元之间的高相关性会带来显著的性能损失。

图2.10 MIMO收发机和信道

信道在频域、时域和空间域的衰减特性由它们各自的相关函数所表征，这些信道的特性对于收发机的设计和性能评估来说会产生较大的影响。

2.2.3.3 衰落案例

不考虑空间域，我们在前面分析的时间和频率衰落的基础上，给出4种可能的衰落信道组合，并分别讨论它们的优缺点：

●频率平坦慢衰落。这一情况如图2.11a所示。其特点是无符号间重叠，符号与符号之间没有振幅变化。此信道的缺点是无法获得功率增益，衰落可能会持续很长时间；优点是不会发生符号间干扰，这对于相干通信是十分有利的。

●频率平坦快衰落。这一情况如图2.11b所示。其特点是无符号间重叠，但符号与符号之间有幅度变化。此信道的缺点是无法获得功率增益，并且需要使用非相干收发器；优点是不会发生符号间干扰，且由于信道的快速衰落，使得可以选择合适的信道编码来获得时间分集。

●频率选择性慢衰落。这一情况如图2.11c所示。此信道的特点是有符号间重叠，但符号到符号之间没有振幅的变化。其缺点是会发生符号间干扰，需要使用均衡器、CD-MA或OFDM均衡器，并会发生长时间衰落；优点是可能有功率增益，从而为相干通信提供了便利。当今的通信系统多数属于这一类。

●快速频率选择性衰落。这一情况如图2.11d所示。它的特点是无符号间重叠，但符号与符号之间有幅度变化。此信道的缺点是会发生符号间干扰，并需要使用非相干收发器；优点是可能有功率增益，而且同样可以选择不同的信道编码来获取时间分集。

图2.11 4种衰落案例

a）慢-频率平坦衰落 b）快-频率平坦衰落 c）慢-频率选择性衰落 d）快-频率选择性衰落

上述对无线衰落信道的简要介绍，能帮助读者对于一般和特殊的无线中继信道的发展趋势有一个基本的了解，下面的内容将重点放在再生和透明中继信道上。