如何优化卷积核更新问题？

卷积核更新子问题的数学模型可以写作

此处需要考虑全体训练样本：

凸集U＝｛dk∈RL：（I－PPT）dk＝0，‖dk‖≤1｝组合了卷积核的两项约束：原始空间支集和单位范数球。

问题式（8－8）的ADMM更新求解过程如下：

ZTZ＋r（d）I的求逆计算是式（8－9）中的主要计算负荷。由于涉及所有训练样本，故该问题比式（8－4）中的z子问题更困难。d子问题的频域解为

下面详细分析的矩阵结构，进而给出基于变量重排的解决方案。

1）式（8－11）的变量重排

式（8－11）中的矩阵具有以下稀疏结构：(www.xing528.com)

是由K×K个矩阵块构成，每个块为BN×BN的对角阵。再次通过变量重排，式（8－11）可以被分解成BN个小问题。

式中，为在频率位置n上采样所有J个样本各自对应的K个卷积核的DFT值；包含式（8－12）中每个矩阵块中的第n个对角线元素，k1，通过同样的方式提取。

需要注意的是，式（8－13）中具有相同n索引的光谱谱段使用一个共同的gn。

2）式（8－13）的计算复杂度

式（8－13）有三项预处理计算开销：i）Z的FFT，O（JKN logN）；ii）式（8－12）中的计算，O（NJK2）；iii）gn＋r（d）I的逆矩阵计算，O（NK3）。

式（8－13）自身的计算负荷在于两项矩阵—向量乘法，为O（NBK（K＋J））。如果将［gn＋r（d）I］－1缓存起来，这部分预处理开销是平摊到ADMM算法的多次内循环上的，但是要以额外的内存消耗为代价。