基于变量分离的频域重建算法优化

设原始光谱密度f（x，y，λ）所需的无混叠采样间隔为Δ×Δ×Δλ，则其离散化表达为f（m，n，l），1≤m≤M，1≤n≤N，1≤l≤L。观测模型式（6－9）的矩阵—向量表示形式为

式中，和f分别为（u，v）和f（m，n，l）顺序堆叠构成的向量；Tφ是由式（6－4）确定的CA编码元素构成的对角矩阵；F为三维FT矩阵；Pφ是一个选择矩阵，由M×N×L阶单位矩阵的部分行构成，所选择行下标对应的三元组（u，v，round（w））根据式（6－10）计算得到。此项处理对应频率域中的最邻近插值；而由于频域数据的高度欠采样，故更复杂的插值方法并未带来明显的效果提升。

现假设在DVP的K个旋转角度下记录原始光谱数据立方体的K个投影，则总体系统方程为

式中，⊗代表Kronecker乘积；n为测量噪声。

本章利用压缩感知理论来从远少于原始数据规模的测量数据中重建出光谱图像，即求解式（6－12）的逆问题。CS理论利用未知信号在某种表达方式下的稀疏性来规整化问题的欠定性。在计算成像领域，两种广泛应用的稀疏化算子为总变分TV和小波变换［187－189］。通过求解以下的稀疏重建问题来从压缩采样g＾中重建f。(www.xing528.com)

式中，Ψ为三维小波变换矩阵；τ和γ为规整化参数，用于控制数据约束和稀疏性；而三维TV范数定义为

式中，Di为f中第i个体素的一阶有限微分算子。

文献［181］提出了一种用于求解TV－L1－L2类型的交替优化算法，当系统测量矩阵为部分傅里叶矩阵时，可以高效地完成信号复原。但该算法不能直接用于求解式（6－13），因为调制矩阵T无法被傅里叶变换对角化。本章利用Bregman变量分离方法［180］来处理调制矩阵T。