基于特征变换的高频信息重建方案

通常，图像降晰模型可描述为

式中，g为低分辨率图像；f为原始高分辨率图像；B为点扩散函数；（↓M）表示做M倍抽取；n为加性噪声，通常假设为零均值高斯噪声。对式（4－11）两边先做M倍插值（↑M），再用滤波器L做低通滤波以去除下采样引起的频谱混叠，有

由多抽样率信号处理理论［119］，L（↑M）（↓M）构成一个M倍抽取—插值系统，若Bf的频谱局限于（－π／M，π／M），L能够选择出（↓M）Bf在频域的一个周期，即L的频域支集为（－π／M，π／M），则L（↑M）（↓M）Bf＝Bf。当然，这两个假设只是近似成立，但是误差可以通过下面的高—低频图像对的特征变换得到一定补偿。进一步地，假设n的频谱位于L的阻带内，即Ln＝0，则式（4－12）简化为

Bf是f被B模糊化后的低频信息，将f分解为低频信息与高频信息之和，则

式中，I为恒等变换。设有n张高分辨率训练图像t1，t2，…，tn，按式（4－13）将其分解为低频训练图像l1，l2，…，ln和对应的高频训练图像h1，h2，…，hn。令T＝［t1，t2，…，tn］＝［t1－m，t2－m，…，tn－m］，其中，对T应用PCA方法，有(www.xing528.com)

式中，V为特征向量矩阵；Λ为特征值矩阵。f在V上的投影为

由V重建的f为

式中，c＝TTVΛ－1ω＝［c1，c2，…，cn］T。

式（4－15）表明：f的重建图像中的低频部分与高频部分的重建系数向量c是相同的。实际应用时，由于f是未知的，故不能直接通过高分辨率训练图像t1，t2，…，tn确定c，但可以通过L（↑M）g和l1，l2，…，ln用PCA方法计算c。