盲超分辨率算法的优化方法

这一节将给出在仿射变换运动模型下的运动参数θ、模糊核h与HR图像f的联合估计方法。由于成像过程中的模糊过程可以建模为一个紧支撑的模糊核与图像的卷积（属于第一类Fredholm积分方程），因此，BSR重建对于f与h都是病态逆问题，需要分别对f与h加以规整化。具体地说，通过最小化以下的规整化的能量函数来得到（f，θ，h）的估计：

式中，是以θk为运动参数的形变矩阵；D为下采样矩阵；为LR图像；L为Lapla⁃cian矩阵；N为式（2－30）中定义的零空间矩阵；λ1，λ2，λ3为规整化参数。

由于卷积与形变的存在，θ、f与h彼此耦合，因此Φ（f，θ，h）是个非凸函数。但是，如果f和θ固定，Φ将是关于h的一个二次形，自然是凸的；而如果h固定，Φ将是关于f和θ的非线性最小二乘问题，可以使用Gauss－Newton算法来求解。于是，可以利用AM（Alternating Minimization）算法交替优化（f，θ）与h。具体地说，假设通过对的粗配准及重采样得到（f，θ）的初始估计（f（0），θ（0）），并给定一个模糊核尺寸的初始过估计（Mh，Nh），则我们的迭代策略在以下两个子问题中交替进行。

步骤1：利用（f（t），θ（t））估计h（t）：

（1）根据式（2－22）对插值并配准得到

（2）通过2.4.2节中的快速算法计算Null（Y）（Y的定义见式（2－25）），并按照式（2－30）构造零空间矩阵N。

（3），这等价于

式中，块对角矩阵

式中，为仿射变换的线性变换矩阵（参考式（2－10））；和W－1分别为以为参数的适当大小的正、逆形变矩阵；F（t）≜C（Mh，Nh）｛f（t）｝。

在求解式（2－43）时，增加约束：∑i，jhk［i，j］＝1，hk［i，j］≥0。

（4）计算关于（Mh，Nh）的残差函数ψ（Mh，Nh），这里：(www.xing528.com)

（5）递减（Mh，Nh），重复（3）和（4）。按照2.4.3节中的式（2－39）估计模糊核实际尺寸，并取

步骤2：利用（f（t），θ（t），h（t））估计（f（t＋1），θ（t＋1））：

（1）按照Gauss－Newton算法的思想，通过对Φ（f＋δf，θ＋δθ，h（t））在（f，θ，h（t））进行1阶Taylor展开，可以转化为如下的一个线性系统。

式中

式中

式中

的梯度场∇f（x）在（x；θk）处的取值，x＝［xi］i＝0：mfnf－1；

（2）用PCG（Preconditioned Conjugate Gradient）方法可以快速求解式（2－46），并更新：

整个迭代过程在步骤1和步骤2之间交替进行，直至终止条件满足。