直齿圆柱齿轮传动的强度计算

1.计算载荷

按名义功率或转矩计算得到的法向载荷F_n称为名义载荷。由于原动机性能及齿轮制造与安装误差、齿轮及支承件变形等因素的影响，实际传动中作用于齿轮上的载荷要比名义载荷大，因此，计算齿轮强度时，通常用计算载荷P_c代替名义载荷P，以考虑影响载荷的各种因素。计算齿轮强度用的载荷系数K包括使用系数K_A、动载系数K_v、齿间载荷分配系数K_α和齿向载荷分布系数K_β，即

K＝K_AK_vKαK_β

P_c＝KP

（1）使用系数K_A 使用系数是考虑原动机和工作机的运转特性、联轴器的缓冲性能等外部因素引起的动载荷而引入的修正系数，可按表7-1选取。

表7-1 使用系数K_A

注：对于增速传动可取表中值的1.1倍；当外部机械与齿轮装置之间挠性连接时，其值可适当降低。

（2）动载系数K_v 动载系数是考虑齿轮副在啮合过程中因啮合误差，包括基节误差、齿形误差及轮齿变形等，以及运转速度而引起的内部附加动载荷的影响系数。另外，齿轮在啮合过程中单对齿啮合、双对齿啮合的交替进行，造成轮齿啮合刚度的变化，也要引起动载荷。动载系数K_v值可根据圆周速度及齿轮的制造精度，按图7-3查取。

（3）齿间载荷分配系数K_α 齿轮的重合度总是大于1，即在一对轮齿的一次啮合过程中，部分时间内为两对轮齿啮合，所以理想状态下应该由各啮合齿对均等承载。但齿轮传动实际情况并非如此，受制造精度、轮齿刚度、齿轮啮合刚度等多方面因素的影响。齿间载荷分配系数K_α是用于考虑制造误差和轮齿弹性变形等原因使两对同时啮合的轮齿上载荷分配不均的影响系数。对一般不需做精确计算的直齿轮传动，可假设为单对齿啮合，故取K_α＝1；对斜齿圆柱齿轮传动，可取K_α＝1～1.4，精度低、齿面硬度高时取大值，反之取小值。

图7-3 动载系数Kv

图7-4 齿向载荷分布系数Kβ

1—齿轮在两轴承间对称布置 2—齿轮在两轴承间非对称布置，轴的刚度较大 3—齿轮在两轴承间非对称布置，轴的刚度较小 4—齿轮悬臂布置

（4）齿向载荷分布系数K_β 由制造误差引起的齿向误差、齿轮及轴的弯曲和扭转变形、轴承和支座的变形及装配误差等，会导致轮齿接触线上各接触点间载荷分布不均匀。为此引入齿向载荷分布系数K_β，用于考虑实际载荷沿轮齿接触线分布不均的影响。其值的大小主要受齿轮相对轴承配置形式、齿宽系数（b/d₁）及齿面硬度的影响，可按图7-4查取。

图7-5 齿根弯曲应力

2.标准直齿圆柱齿轮齿根弯曲疲劳强度计算

（1）强度公式 将轮齿看成如图7-5所示的悬臂梁，作用到齿顶的法向力F_n可分解为相互垂直的两个力：F_ncosα_F和F_nsinα_F。F_ncosα_F移到齿根危险截面是一个剪切力和弯矩，使齿根危险截面受剪和受弯，产生剪应力和弯曲应力σ_b；F_nsinα_F使齿根危险截面受压而产生压应力σ_c。剪应力和压应力之和不足弯曲应力σ_b的5％，因此忽略不计（在应力修正系数中考虑），经推导得出齿根弯曲疲劳强度的校核式为

齿根弯曲疲劳强度的设计式为

式中 b——齿宽（mm）；

m——齿轮的模数（mm）；

Y_Fa——齿形系数；

Y_Sa——应力修正系数；

Y_ε——重合度系数；

T₁——小齿轮的转矩（N·mm），T₁＝9.55×10⁶（N·mm）；

ψ_d——齿宽系数；

Z₁——小齿轮的齿数；

［σ_F］——许用弯曲应力（N/mm²）。

（2）公式应用分析

1）设计齿轮模数m时，一对齿轮相啮合，大小齿轮的不同，取大者代入更安全；计算出的模数m必须圆整到标准值，传递动力时m≥2mm。

2）齿形系数是无量纲的数，表示轮齿的几何形状对抗弯能力的影响，只取决于齿形（齿数Z及变位系数X影响齿形），与模数m无关。Y_Fa越小，抗弯强度越高。随着齿数的增加，Y_Fa减小，见图7-6。

3）应力修正系数Y_Sa综合考虑齿根圆角处应力集中和除弯曲应力以外其余应力对齿根应力的影响，与齿数Z、变位系数X有关，按图7-7查取。

4）重合度系数，εα为端面重合度。

5）齿宽系数ψ_d＝b/d₁，通常轮齿越宽，承载能力也越高，因而轮齿不宜过窄；但增大齿宽又会使齿面上的载荷分布更趋不均匀，故应适当选取齿宽系数。

6）模数m：计算出的模数应圆整为标准值，对于传递动力的齿轮，其模数不应低于1.5mm。齿厚S＝πm／2，模数增加，齿厚增加，整个轮齿各处厚度增加，抗弯截面模量增加，工作应力减小，弯曲强度增高；模数小，弯曲强度低。所以说模数是决定弯曲强度的主要因素。

图7-6 外齿轮齿形系数

开式传动时将计算出的模数m增大10％～15％以考虑磨损的影响。(www.xing528.com)

表7-2 常用圆柱齿轮模数系列 （单位：mm）

注：1.本表适用于渐开线圆柱齿轮，对斜齿轮是指法向模数。

2.选用模数时，应优先选用第一系列，其次是第二系列，括号内的模数值尽可能不用。

7）小齿轮齿数z₁的选择：对于闭式软齿面齿轮尽量选用小模数、多齿数，通常选z₁＝20～40；开式、硬齿面的齿轮为了防止意外断齿，可选大一些的模数，齿数只要不根切即可，z₁≥17。

8）许用弯曲应力［σ_F］：

图7-7 外齿轮应力修正系数

式中 Y_N——寿命系数，齿轮为有限寿命时许用弯曲应力提高的系数，其值取决于工作应力循环次数N_L，见图7-8；

Y_X——尺寸系数，当m≤5时取1，其值取决于齿轮的模数和材料，见图7-9；

S_Fmin——弯曲强度的最小安全系数，见表7-3；

σ_Flim——失效率为1％时，试验齿轮的齿根弯曲疲劳强度极限，见图7-10。

图7-8 弯曲强度的寿命系数Y_N

表7-3 最小安全系数参考值

注：在经过使用验证或材料强度、载荷工况及制造精度拥有较准确的数据时，S_Hmin可取下限。

图7-9 弯曲强度的尺寸系数Y_X

图7-10 试验齿轮的弯曲疲劳极限σ_Flim

图7-10 试验齿轮的弯曲疲劳极限σ_Flim（续）

3.标准直齿圆柱齿轮传动齿面接触疲劳强度计算

齿面疲劳点蚀与齿面接触应力的大小有关，最易发生在齿根部分靠近节线处。为计算方便，通常取节点处的接触应力作为计算依据。利用两圆柱赫芝公式，代入齿轮的参数，并进行简化处理。引进若干系数，得出节点处的接触应力，进而得出齿面接触疲劳强度的校核公式为

设计式为（正号用于外啮合，负号用于内啮合）

式中 Z_E——材料的弹性系数，与大小齿轮的材料有关，可查表7-4。

Z_ε——重合度系数，代表重合度对接触应力的影响系数，为端面重合度，，其中“＋”用于外啮合；“-”用于内啮合。若为直齿圆柱齿轮传动，则β＝0。

Z_H——节点区域系数，，考虑节点处齿廓曲率对接触应力的影响，对于标准齿轮（α＝20°），按标准中心距安装时，节点区域系数Z_H为2.5。

d₁——小齿轮的分度圆直径。

［σ_H］——许用应力，［σ_H］＝σ_HlimZ_N／S_Hmin。其中σ_Hlim为失效率为1％时，试验齿轮的接触疲劳极限，见图7-11。S_Hmin为齿面接触强度最小安全系数安全系数，见表7-3。因弯曲疲劳造成的轮齿折断有可能引起重大事故，而接触疲劳产生的点蚀只影响使用寿命，故轮齿弯曲疲劳安全系数S_Fmin的数值远大于齿面接触疲劳安全系数S_Hmin。Z_N为接触疲劳强度计算的寿命系数，取决于工作应力循环次数N_L，见图7-12。

表7-4 材料的弹性系数Z_E （单位：）

图7-11 试验齿轮的接触疲劳极限σ_Hlim

图7-11 试验齿轮的接触疲劳极限σ_Hlim（续）

图7-12 接触寿命系数ZN