ARMA预测模型优化方法

ARMA是一种常用的时间序列模型，它用有限参数模型描述时间序列的自相关结构，用于平稳或具有近似特征的序列进行统计分析与数学建模。设｛Xt｝为零均值平稳序列，满足如下数学表达式：

式中　｛εt｝——零均值的白噪声序列；

｛Xt｝——阶数为p，q的自回归滑动平均序列，简记为ARMA（p，q）。

式（6-10）表明，ARMA是系统对过去自身状态以及进入系统噪声的记忆，一个时间序列在某时刻的值可以用p个历史观测值的线性组合加上一个白噪声序列的q项滑动平均来表示。

ARMA预测建模的主要步骤为模型识别、模型定阶、参数估计、模型检验和模型预测。ARMA预测模型建模流程如图6-2所示。对于局部区域平稳性较强且具有较长时间积累的风速序列和太阳辐射序列，可通过上述步骤进行超短期预测建模。

图6-2　ARMA预测模型建模流程图

6.4.2.1　模型识别

ARMA模型的识别主要是确定模型的属性，需根据序列的自相关函数与偏相关函数的性质来确定。自相关函数定义如式（6-7），偏相关函数φi，j（i，j=2，…，k）由如下的递推关系得到：

对时间序列的自相关函数或偏相关函数，若k＞p后恒为零，将此性质称为“截尾”，反之为“拖尾”，时间序列的截尾和拖尾如图6-3（a）和图6-3（b）所示。当自相关函数与偏相关函数都“拖尾”时，该模型为ARMA模型；当自相关函数“拖尾”，偏相关函数“截尾”时，该模型为AR模型（自回归模型）；当自相关函数“截尾”，偏相关函数“拖尾”时，则该模型为MA模型（滑动平均模型）。

图6-3　时间序列的截尾和拖尾

6.4.2.2　模型定阶

对于一个时间序列，若通过模型识别确定为ARMA（p，q）模型，则下一关键步骤就是模型定阶，即估计p，q的值。在建模过程中，定阶之后才能进行下一步参数估计。模型定阶常用AIC准则，AIC准则又称为Akaike准则，是衡量统计模型拟合优良性的一种标准，它建立在熵的概念基础上，可以权衡所估计模型的复杂度和此模型拟合数据的优良性。

在ARMA（p，q）模型中，未知参数个数是k=p+q+1个，包括自回归参数、滑动平均参数以及白噪声方差，AIC准则的目标是选取合适的p，q使式（6-12）最小：

式中　——的最大似然估计。

AIC鼓励数据拟合的优良性，但尽量避免出现过度拟合的情况，所以优先考虑的模型应是AIC值最小时对应p，q的值。

6.4.2.3　参数估计

当模型定阶后，就要对模型参数φ=（φ1，φ2，…，φp）T及θ=（θ1，θ2，…，θq）T进行估计。常用的参数估计方法有矩估计、极大似然估计和最小二乘估计。下面介绍一下最小二乘估计方法，假设由（Xt-1，Xt-2，…，Xt-k）的线性组合预测Xt，现取k=t-1，即（Xt-1，Xt-2，…，X1）的线性组合预测Xt（t=2，3，…，n），估计量是：(www.xing528.com)

由Yule-Walker方程可知φt-1，1，φt-1，2，φt-1，t-1满足下列方程组：

因在理论上，ρj是φ=（φ1，φ2，…，φp）T及θ=（θ1，θ2，…，θq）T的函数，所以φt-1，j是φ，θ的函数，从而预测的残差平方和也是φ，θ的函数

在Xt的平稳可逆域中寻找，，使得S ，θL）最小，则，称为φ，θ的最小二乘估计。

6.4.2.4　模型检验

在模型定阶与参数估计后，对建立的模型要进行模型检验。其基本做法是检验模型误差εt是否为白噪声。若检验认为εt是白噪声，则模型通过检验，否则要重新进行参数估计。

若拟合模型的残差记为的估计。对ARMA（p，q）模型，设未知参数的估计为，…，；，…，，则残差为

记

χ2检验的统计量是

检验的假设是H0：ρk=0，当k≤m；H1：对某些k≤m，ρk≠0。

在H0成立时，若n充分大，χ2近似于χ2（m-r）分布，其中r是估计的模型参数个数。给定显著水平α，查表得到α分位数（m-r），则当χ2＞（m-r）时拒绝H0，即认为εt非白噪声，模型检验未通过；而当χ2≤（m-r）时，接受H0，认为εt是白噪声，模型通过检验。

6.4.2.5　模型预测

在完成了模型定阶，参数估计以及模型检验通过以后，就要对ARMA（p，q）模型进行预测，预测t时刻以后的风速或者太阳辐射，首先定义预测向量为：

依据式Xt=可得预测递推关系式为：

式中　Xt——历史序列值；——预测序列值。