大气运动的基本方程组详解

大气运动遵循许多定律，其中包括牛顿第二定律、质量守恒定律、热力学能量守恒定律、气体实验定律和水汽守恒定律，它们的数学表达式分别为运动方程、连续方程、热力学方程、状态方程和水汽方程，构建数值天气预报的方程组要根据大气运动所遵循的基本物理规律。

在现有中尺度数值天气预报模式中，Weather Research and Forecast（WRF）模式是使用较多的模式之一。WRF模式是由美国的国家大气研究中心、国家环境预报中心等联合一些大学和研究机构共同开发的新一代区域中尺度天气模式，其主要是针对水平分辨率为1～10km的大气科学研究和高分辨率数值预报业务。WRF模式不仅具有先进的数值方法和资料同化技术，不断更新改进的物理过程方案，而且具有多重嵌套、易于定位的能力，广泛应用于科学研究和预报业务。在这里将给出WRF中使用的σ坐标系及对应的大气运动方程组。

σ坐标系是一种与气压P相联系的（x，y，σ，t）坐标系。由于σ坐标系的下边界条件极为简单，便于引入地形的动力作用，所以在数值天气预报（如WRF模式）中多采用σ坐标系下的大气基本方程组。

σ坐标系下的大气基本方程组如下：

水平运动方程：

垂直运动方程：

静力学方程：

连续方程：

热力学方程：

状态方程：

其中，在σ坐标系中垂直坐标定义为?

式中　vh——水平风速；(www.xing528.com)

t——时间；

▽σ——σ坐标系中的二维微分算子；

p＊——地表气压ps与大气上界气压pT的差；

f——科氏参数；

Fh——水平方向上的摩擦力；

——σ坐标系中的垂直速度，

Φ——重力位势，Φ=gz；

CP——定压比热容，对于干空气一般为1.005，J／（g·K）；

Q——外界对空气团的加热率。

将静力学方程代入水平运动方程中，可将水平气压梯度力项改写为：

这样则使得水平气压梯度力将难以计算的、复杂的下边界条件转化为水平气压梯度力的计算精度问题，并可在数值天气预报中插值求解。通过σ坐标系边界特性垂直积分连续方程可得气压倾向方程：

该方程表明地表面某一地点气压的局地变化率等于该点之上单位时间整个单位截面积气柱内空气质量的辐散辐合。

垂直运动方程表明某σ面上的垂直速度σ由从0到σ气层单位时间、单位截面积气柱内空气质量的辐散辐合以及地面的气压倾向这两个因子所决定。

图4-1　σ坐标系示意图

σ坐标系如图4-1所示，它的优点是下边界面是σ=1的坐标面，下边界条件极为简单，便于在数值天气预报中引入地形的动力作用。缺点是水平运动方程复杂，气压梯度力难以精确计算，不过随着数值天气预报理论研究的进展和计算技术的进步，这个问题正在逐步得到解决。因此，当今国内外大多数都使用σ坐标系基本方程组进行数值天气预报。