静态WTA问题的标准数学模型及性质分析

目前对WTA 问题的求解研究，大多针对其静态模型。

1.标准数学模型

一般意义上的WTA 问题可以描述为：

定义6-1 WTA 标准数学模型

定义武器集W={Wi}，i=1，2，…，m，描述m 个武器。定义目标集T={Tj}，j=1，2，…，n，描述n 个目标。定义武器Wi 的重要度为si，武器Wi 对目标Tj 的打击效果为pij，且最多有hj 个武器同时对目标Tj 进行打击。定义目标Tj 对武器Wi 的打击效果为qij，目标Tj 的威胁度为vj。用矩阵X=（xij）m×n 来描述WTA 分配方案，其中，xij={0，1}：xij=1 表示武器Wi 对目标Tj 进行打击，xij=0 表示不进行打击。

根据不同的WTA 求解目标，其数学模型有不同的形式，讨论最多的有3种形式：

① 以失败毁伤概率和最小为目标，目标函数采用式（6-1）。

② 以我方打击失败造成的代价最小为目标，目标函数采用式（6-2）。

③ 以成功毁伤概率和最大为目标，目标函数采用式（6-3）。

综上，WTA 问题的数学模型可以抽象为如下形式：

式中，xij={0，1}。

以式（6-1）和式（6-2）为基础的标准WTA 模型主要应用于防空作战领域，其作战形式主要是间接对抗型，作战目的是保护防御阵地。以式（6-3）为基础的标准WTA 模型主要应用于空-空对战、空-地对战领域，其作战形式主要是直接对抗型，作战目的是直接歼灭对方。由于装甲装备是地面突击型武器，主要作战目的也是消灭敌方有生力量，因此，装甲分队WTA模型通常可以在式（6-3）的基础上进行研究或改进。

2.数学性质

WTA 问题具有以下数学性质：

① WTA 问题是NP-Complete 问题，欲获得其准确最优解，必须采用枚举法。(www.xing528.com)

② WTA 问题具有离散性，即不能对其微分。

③ WTA 问题具有随机性，即武器与目标的交战等活动往往需要用随机模型描述。

④ WTA 问题的目标函数是非线性的。

⑤ WTA 问题模型的上述数学性质表明，对于一定规模的WTA 问题，精确求解其最优解是不现实的，只能求其满意解或次优解。

3.WTA 问题的武器平台化扩展模型

目前各国军方越来越重视武器系统的体系对抗能力，比如说，海军注重舰艇编队的整体打击能力，陆军注重步坦协同梯度配置加上远程炮火支援。因此，当前的WTA 问题也应立足于武器平台的层面，考虑火力配置的优化。于是，在单武器WTA 模型的基础上，扩展得到武器平台级WTA 模型如下：

定义6-2 平台级WTA 标准数学模型

定义武器平台集W={Wi}，i=1，2，…，m，描述m 个武器平台，其中Wi={Wik}，k=1，2，…，mi，描述第i 个武器平台Wi 具有mi 个有效武器，则武器总数 ∑ m=m1+m2+…+mm。定义目标集T={Tj}，j=1，2，…，n，描述n 个目标。定义武器平台Wi 的武器Wik 的重要度为sik，武器平台Wi 的武器Wik 对目标Tj的打击效果为pikj，且武器平台Wi 最多可同时对gi 个目标进行打击，最多有hj 个武器同时对目标Tj 进行打击。定义目标Tj 对武器平台Wi 的武器Wik 的打击效果为qikj，目标Tj 的威胁度为vj。用矩阵 X=（xikj）m×l×n，l=max（mi），i=1，2，…，m 来描述WTA 分配方案，其中，xikj={0，1}：xikj=1表示武器平台Wi 的武器Wik 对目标Tj 进行打击，xikj=0 表示不进行打击。

同样，根据不同的WTA 求解目标，其数学模型的形式如下：

① 以失败毁伤概率和最小为目标，目标函数采用式（6-6）。

② 以我方打击失败造成的代价最小为目标，目标函数采用式（6-7）。

③ 以成功毁伤概率和最大为目标，目标函数采用式（6-8）。

式中，xikj={0，1}。