2.4.1.1 量纲与单位
1.基本物理量
凡是独立地规定其测量单位的物理量,称为基本物理量。目前国际上规定的基本物理量有7个,即:长度、质量、时间、电流、热力学温度、物质的量和发光强度。
在力学领域,所用基本物理量只有长度、质量和时间3个,如果考虑热效应,则增加一个热力学温度。
2.基本测量单位与基本测量单位系统
基本物理量的测量单位称为基本测量单位,如:长度的测量单位有km、m、cm、mm等。
基本测量单位系统是指由约定的基本测量单位所构成的组合,如CGS制(长度基本测量单位为cm,质量基本测量单位为g,时间基本测量单位为s)等。
3.量纲
基本物理量的约定标示符号称为基本量纲,如一般力学的基本量纲有4个,即长度、质量、时间和温度。
其他物理量的量纲称为导出量纲或派生量纲,可以通过上述基本量纲的幂函数及其乘积来表示。
由此可见,单位和量纲不能混为一谈。同时,检验一个公式正确与否,必要条件是等式两边量纲相等,求和项之间量纲相等。
2.4.1.2 有量纲量与无量纲量
测量数值随测量单位改变而改变的物理量称为有量纲量,测量数值不随测量单位改变而改变的物理量为无量纲量。
2.4.1.3 量纲相关性
1.量纲无关与量纲相关
在n个物理量中,凡是其中量纲不能表达成其余物理量量纲的幂积形式的物理量,则称该物理量与其余物理量的量纲无关,或称量纲独立;否则,称为量纲相关或量纲不独立。
2.量纲无关量的最大个数
在一组物理量中,如果k个物理量量纲无关,而任何k+1个物理量都是量纲相关的,则称该组物理量量纲无关的最大个数为k。
显然,k不能大于基本物理量的个数,更不能超过该组所有物理量的个数。
2.4.1.4 量纲基本定律
1.主定量与被定量
在描述一个物理过程的一组物理量中,凡是对描述过程起主要和决定作用的物理量,称为主定量;由主定量所决定的其余物理量称为被定量。
2.量纲基本定律(π定律)
若被定量ψ依赖于主定量ψ1,ψ2,…,ψk-1,ψk,ψk+1,ψk+2,…,ψk+l,记为
ψ‖ψ1,ψ2,…,ψk-1,ψk,ψk+1,ψk+2,…,ψk+l
式中,ψ1,ψ2,…,ψk为量纲独立最大个数的主定量。
被定量和相关主定量的量纲可以用独立主定量量纲的幂积表示,即可构建下列(l+1)个无量纲量:
且存在下列函数关系:(www.xing528.com)
[例1]爆炸或火灾产生的瞬变火球的成长研究。
影响瞬变火球成长的主要物理参数有:爆炸释放出的能量E(假设它是瞬时释放出来的)、作为时间t的函数的火球直径D、火球温度θ(它取决于燃料的种类)、火球中空气的热容量ρcp,以及斯蒂芬-玻耳兹曼(Stefan-Boltzmann)常数σ(它是说明热量向周围辐射的特性常数)。与辐射和暂时储存在火球内的热量对比,可以将热传导过程和热对流过程视为次要过程而予忽略。上述6个参数已列于表2.1中,它们采用的基本量纲体系为:力F,长度L,时间T,温度θ。
表2.1 确定火球大小的参数
在表2.1中共有6个物理量,取其中火球直径D为被定量,即D‖E,θ,ρcp,σ;t。则主定量总数为n=5。由于其中独立量纲量数k=4,故相关量纲量个数为l=n-k=1。取E,θ,ρcp和σ为独立量纲主定量,t为相关量纲量,则由量纲定律知,存在下式:
其中,
将表2.1中有关量纲代入式(b)得
由于[π]=1,故
解得
代入式(b)得
同理可得
由于[π1]=1,故
解得
代入式(c)得
将式(d)和式(e)代入式(a)得
在空气初始条件基本相同的情况下,ρcp和σ为常数,故式(f)可改写为
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