小波技术优化信号分析的应用实践

小波变换是一种信号的时间尺度（时间-频率）分析方法，它具有多分辨率分析的特点，而且在时频两域都具有表征局部信号特征的能力，是一种窗口大小可改变的时频局部方法。因此，Smallat在1988年提出的小波多分辨率分析成为了图像模式识别的有效工具。

设有二维离散人脸图像信号{X_m，n}；m，n∈z，令C_o，m，n=X_m，n，则二维图像的小波分解递推公式为

式中，H和G分别是脉冲响应为{h_k}_k∈z和{g_k}_k∈z的滤波器；H是低通滤波器，起平滑作用；D¹为小波分解垂直方向上的系数；D²为小波分解水平方向上的系数；D³为小波分解对角线方向上的系数；C为小波分解低频子带上的系数。

在一层二维小波分解的基础上，可以继续对一层分解的低频系数图像进行小波分解得到二层小波分解图像。分解的低频系数图像保持了原图像的低频量，为原图像的平滑像；水平高频图像保持了原图像的水平边缘细节；垂直高频图像保持了原图像的垂直边缘细节；对角线线高频图像保持了原图像的斜边缘细节。Nasta等人研究了人脸面容变化及其频谱变化的关系，发现人脸图像的表情变化和少许遮掩只影响局部光强度流（Intensity Manifold Locally），如果用频率来表达，只会影响高频谱部分，称为高频现象（High Frequency Phenomenon），而且经过分解的低频子图像的存储空间和计算存在复杂性，经过适当的小波分解的低频图像对人脸图像的表情变化不敏感，但可以保持充分区分不同人脸的能力。(www.xing528.com)

傅里叶变换是传统而有效的信号分析工具，对人脸图像小波分解的低频系数进行频谱表达，就是对其进行傅里叶变换了。对以二维信号f（x，y）∈L²（R²）的傅里叶变换定义为

并且容易证明f（x-a，y-b）∈L²（R²），则有人像的振幅谱图像是位移不变的。因此可对小波分解后的低频系数图像进行傅里叶变换，采用这种方式可以完全消除因空间位置对不准而带来的位移误差。经过对傅里叶变换后的系数矩阵进行数据分析就可以得出此人脸图像的特征向量。也就是先求取矩阵的行向量范数，再求列向量的范数，然后对这两组范数进行组合就行了。