图像腐蚀、膨胀与细化技术

1.基本符号和关系的定义

先来定义一些基本符号和关系。

（1）元素 设有一幅图像X，若点a在X的区域以内，则称a为X的元素，记作a∈X，如图4-13所示。

（2）B包含于X 设有两幅图像B、X。对于B中所有的元素a_i，都有a_i∈X，则称B包含于（Included in）X，记作BX，如图4-14所示。

（3）B击中X 设有两幅图像B、X。若存在这样一个点，它既是B的元素，又是X的元素，则称B击中（Hit）X，记作B↑X，如图4-15所示。

（4）B不击中X 设有两幅图像B、X。若不存在任何一个点，它既是B的元素，又是X的元素，即B和X的交集是空，则称B不击中（Miss）X，记作B∩X=。其中，∩是集合运算中交集的符号；表示空集，如图4-16所示。

图4-13 元素

图4-14 包含

图4-15 击中

图4-16 不击中

（5）补集 设有一幅图像X，所有X区域以外的点构成的集合称为X的补集，记作X^c，如图4-17所示。显然，如果B∩X=，则B在X的补集内，即BX^c。

（6）结构元素 设有两幅图像B、X。若X是被处理的对象，而B是用来处理X的，则称B为结构元素（Structure Element），又被形象地称做刷子。结构元素通常都是一些比较小的图像。

（7）对称集 设有一幅图像B，将B中所有元素的坐标取反，即令（x，y）变成（-x，-y），所有这些点构成的新的集合称为B的对称集，记作B^v，如图4-18所示。

图4-17 补集的示意图

（8）平移 设有一幅图像B，有一个点a（x₀，y₀），将B平移a后的结果是，把B中所有元素的横坐标加x₀，纵坐标加y₀，即令（x，y）变成（x+x₀，y+y₀），所有这些点构成的新的集合称为B的平移，记作B_a，如图4-19所示。

图4-18 对称集的示意图

图4-19 平移的示意图

介绍了这么多基本符号和关系，现在应用这些符号和关系，看一下形态学的基本运算。

2.形态学的基本运算

（1）腐蚀 把结构元素B平移a后得到B_a，若B_a包含于X，记下这个a点，所有满足上述条件的a点组成的集合称做X被B腐蚀（Erosion）的结果，用公式表示为E（X）={a|B_aX}=X㊀B，如图4-20所示。

图4-20 腐蚀的示意图

图4-20中，X是被处理的对象，B是结构元素。不难知道，对于任意一个在阴影部分的点a，B_a包含于X，所以X被B腐蚀的结果就是那个阴影部分。阴影部分在X的范围之内，且比X小，就像X被剥掉了一层似的，这就是为什么叫腐蚀的原因。

值得注意的是，上面的B是对称的，即B的对称集B^v=B，所以X被B腐蚀的结果和X被B^v腐蚀的结果是一样的。如果B不是对称的，则如图4-21所示，就会发现X被B腐蚀的结果和X被B^v腐蚀的结果不同。

图4-20和图4-21都是腐蚀的示意图，现在来看看实际上是怎样进行腐蚀运算的。

如图4-22所示，左边是被处理的图像X（二值图像，针对的是黑点），中间是结构元素B，那个标有origin的点是中心点，即当前处理元素的位置，在介绍模板操作时也有过类似的概念。腐蚀的方法是，拿B的中心点和X上的点一个一个地对比，如果B上的所有点都在X的范围内，则该点保留，否则将该点去掉；右边是腐蚀后的结果。可以看出，它仍在原来X的范围内，且比X包含的点要少，就像X被腐蚀掉了一层。

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图4-21 结构元素非对称时，腐蚀的结果不同

图4-22 腐蚀运算

图4-23为原图，图4-24为腐蚀后的结果，能够很明显地看出腐蚀的效果。

图4-23 原图

图4-24 腐蚀后的效果

图4-25 膨胀的示意图

（2）膨胀 膨胀（Dilation）可以看作是腐蚀的对偶运算，其定义是：把结构元素B平移a后得到B_a，若B_a击中X，记下这个a点。所有满足上述条件的a点组成的集合称作X被B膨胀的结果。用公式表示为：D（X）={a|B_a↑X}=X㊉B。图4-25中X是被处理的对象，B是结构元素，不难知道，对于任意一个在阴影部分的点a，B_a击中X，所以X被B膨胀的结果就是那个阴影部分。阴影部分包括X的所有范围，就像X膨胀了一圈似的，这就是为什么叫膨胀的原因。

同样，如果B不是对称的，X被B膨胀的结果和X被B^v膨胀的结果是不同的。

现在来看看实际上是怎样进行膨胀运算的。如图4-26所示，左边是被处理的图像X（二值图像，针对的是黑点），中间是结构元素B。膨胀的方法是，拿B的中心点和X上的点及X周围的点一个一个地对比，如果B上有一个点落在X的范围内，则该点就为黑；右边是膨胀后的结果。可以看出，它包括X的所有范围，就像X膨胀了一圈似的。

图4-26 膨胀运算

图4-27为图4-23膨胀后的结果，能够很明显地看出膨胀的效果。

图4-27 膨胀后的效果

（3）细化 所谓细化，就是从原来的图中去掉一些点，但仍要保持原来的形状。实际上，是保持原图的骨架。所谓骨架，可以理解为图像的中轴，例如一个长方形的骨架是它的长方向上的中轴线；正方形的骨架是它的中心点；圆的骨架是它的圆心，直线的骨架是它自身，孤立点的骨架也是自身。那么怎样判断一个点是否能去掉呢？显然，要根据它的八个相邻点的情况来判断，现给出图4-28所示几个例子。

图4-28 根据某点的八个相邻点的情况来判断该点是否能删除

图4-28中，图a不能删，因为它是个内部点，我们要求的是骨架，如果连内部点也删了，骨架也会被掏空的；图b不能删，和图a是同样的道理；图c可以删，这样的点不是骨架；图d不能删，因为删掉后，原来相连的部分断开了；图e可以删，这样的点不是骨架；图f不能删，因为它是直线的端点，如果这样的点删了，那么最后整个直线也被删了，就剩不下什么了。

小结一下，有如下的判据：图a内部点不能删除；图b孤立点不能删除；图c直线端点不能删除；图d如果待判断点是边界点，去掉它后，如果连通分量不增加，则它可以删除。

给出一个具体的细化算法：一幅图像中的一个3×3区域（见图4-29），对各点标记名称P₁，P₂，…，P₈，其中P₁位于中心。如果P₁=1（即黑点），下面四个条件如果同时满足，则删除P₁（P₁=0）。

● 2≤NZ（P1）≤6；

● Z0（P1）=1；

● P2×P4×P8=0或者Z0（P1）≠1；

● P2×P4×P6=0或者Z0（P4）≠1。

对图像中的每一个点重复这一步骤，直到所有的点都不可删除为止。图4-29给出了这一算法的应用示例。

图4-29 细化示例

a）标记点P₁和邻点 b）细化过程