图像的平移、旋转、缩放、镜像和转置技巧

1.图像的平移

图像的平移就是将图像中所有的点都按照指定的平移量水平、垂直移动。如图4-1所示，设（x₀，y₀）为原图像上的一点，图像水平平移量为t_x，垂直平移量是t_y，则平移后点（x₀，y₀）坐标将变为（x₁，y₁）。显然（x₀，y₀）和（x₁，y₁）的关系如下：

用矩阵表示如下：

对矩阵求逆，可以得到逆变换：

图4-1 图像平移示意图

这样，平移后的图像上的每一点都可以在原图像中找到对应的点。例如，对新图中的（0，0）像素，代入上面的方程组，可以求出对应原图中的像素（-t_x，-t_y）。如果t_x或t_y大于0，则点（-t_x，-t_y）不在原图中。对于不在原图中的点，可以直接将它的像素值统一设置为0或者255（对于灰度图就是黑色或者白色）。同样，若有点不在原图中，也就是说明原图中有点被移出显示区域。如果不想丢失被移出的部分图像，可以将新生成的图像宽度扩大|t_x|、高度扩大|t_y|。

2.图像的旋转

一般图像的旋转以图像的中心为原点，旋转一定的角度。旋转后，图像的大小一般会改变。和图像平移一样，既可以把转出显示区域的图像截去，也可以扩大图像范围，以显示所有的图像，如图4-2～图4-4所示。

图4-2 旋转前的图像

图4-3 旋转θ后的图像（扩大图像）

图4-4 旋转θ后的图像（转出部分被截去）

下面来推导一下旋转运算的变换公式。如图4-5所示，点（x₀，y₀）经过旋转θ°后坐标变成（x₁，y₁）。

在旋转前为

旋转后为

写成矩阵表达式为

图4-5 旋转前的图像

其逆运算如下：

上述旋转是绕坐标轴原点（0，0）进行的，如果是绕一个指定点（a，b）旋转，则先要将坐标系平移到该点，再进行旋转，然后平移回新的坐标原点。

下面首先推导坐标系平移的转换公式。如图4-6所示，将坐标系Ⅰ平移到坐标系Ⅱ处，其中坐标系Ⅱ的原点在坐标系Ⅰ中坐标为（a，b）。

两种坐标系坐标变换矩阵表达式为

其逆变换矩阵表达式为(www.xing528.com)

假设图像为旋转时中心坐标为（a，b），旋转后中心坐标为（c，d）（在新的坐标下，以旋转后新图像左上角为原点），则旋转变换矩阵表达式为

图4-6 坐标系平移示意图

其逆变换矩阵表达式为

即

因此

3.图像的放缩

假设图像x轴方向的缩放比率是f_x，y轴方向的缩放比率是f_y，那么原图中点（x₀，y₀）对应于新图中的点（x₁，y₁）的转换矩阵为

其逆运算如下：

4.图像的镜像变换

设图像高度为l_Height，宽度为l_Width，原图中（x₀，y₀）经过水平镜像后坐标将变为（l_Width-x₀，y₀），其矩阵表达式为

逆运算矩阵表达式为

同样，（x₀，y₀）经过垂直镜像后坐标将变为（x₀，l_Height-y₀），其矩阵表达式为

逆运算矩阵表达式为

5.图像的转置

转置是指将x、y坐标对换，图4-7的转置图像如图4-8所示。

图4-7 转置之前原图像

图4-8 转置之后的图像

转置的变换矩阵很简单，即