三角形的解法和常用公式

图1-1 直角三角形

1.三角函数的定义

在直角三角形ABC（图1-1）中，如果知道了两条边，就可以知道锐角A或B的大小。同样，如果知道了一条边和一个锐角，也就可以求出另外两条边的大小。

把三角形的BC边长用a表示，AC边长用b表示，AB边长用c表示，按下面定义就可得出常用的四个公式：

1）锐角A所对的直角边a与斜边c的比，称为锐角A的正弦，即

2）锐角A相邻的直角边b与斜边c的比，称为锐角A的余弦，即

3）锐角A所对的直角边a与此角相邻的直角边b的比，称为锐角A的正切，即

4）锐角A相邻的直角边b与此角所对的直角边a的比，称为锐角A的余切，即

同样，锐角B有

由以上的关系可知

sinA＝cosB

cosA＝sinB

tanA＝cotB

cotA＝tanB

从四个定义中可得

2.勾股定理

在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和，即

同样，可以把上面公式变为

在直角三角形中，如果知道了两条边的长度，就可以应用勾股定理求出第三条边的长度。

例 b＝12mm，a＝10mm，求c。

解

例 c＝20mm，b＝12mm，求a。

解

3.30°、45°、60°的三角函数值(https://www.xing528.com)

30°、45°、60°的三角函数值，可以用数学方法求出，不需要查三角函数表。

图1-2 30°直角三角形

1）30°的函数值。在直角三角形ABC中（图1-2），A＝30°，根据几何定理，，所以

因而

图1-3 45°直角三角形

2）45°的三角函数值。在直角三角形ABC（图1-3）中，A＝45°，b＝a，所以

因而

3）60°的三角函数值。在直角三角形ABC（图1-4）中，A＝60°，按几何定理，，所以

因而

图1-4 60°直角三角形

4.常用公式

（1）同角三角函数间的关系

（2）诱导公式（表1-1）

表1-1 诱导公式

（3）两角和、两角差、倍角和半角的三角函数