如何求解平面立体的截交线？

平面与立体表面相交，可以看作是立体表面被平面截割。图2-17所示为一个平面与三棱锥相交，截割立体的平面P称为截平面，截平面与立体表面的交线Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ称为截交线。展开技术中研究平面与立体表面相交的目的是求截交线，因为能否准确求出平面与不同立体表面相交而形成的截交线，将直接影响构件形状及构件展开图的正确性。

1.平面与平面立体相交

图2-17 平面与平面立体表面相交

平面与平面立体相交，其截交线是由直线组成的封闭多边形。多边形顶点的数目，取决于立体与平面相交的棱线的数目。求平面立体截交线的方法有以下两种：

1）求各棱线与平面的交点——棱线法。

2）求各棱面与平面的交线——棱面法。

两种方法的实质是一样的，都是求立体表面与平面的共有点和共有线。作图时，两种方法有时也可相互结合应用。

例1 如图2-18所示，正垂面P与正三棱锥相交，求截交线。

如图2-18所示，P为正垂面，正面投影Pv有积聚性，用棱线法可直接求出P平面与SA、SB、SC三条棱线的交点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影1′、2′、3′，然后再求出各点的水平投影1、2、3。其中，点Ⅱ所在SB线为侧平线，不能直接求出Ⅱ点的水平投影2点。为求2点，可通过2′点作水平辅助线交s′c′于2″点，再由2″点引下垂线与sc线相交，并由此交点引bc平行线交sb于2点，即为Ⅱ点的水平投影。连接1-2-3-1得△123，就是截交线的水平投影。

例2 如图2-19所示为正垂面P与正四棱柱相交，求截交线。

图2-18 平面与正三棱锥相交的截交线

图2-19 正垂面P与正四棱柱相交

如图2-19所示，截平面P为正垂面，利用P_V的积聚性可以看出，P平面与四棱柱的顶面、底面及BD棱相交。四棱柱的顶面为水平面，它与P平面相交，其正面投影1′（2′）积聚为一点；水平投影1—2为可见直线。同理，四棱柱的底面也是水平面，它与P平面的交线也是正垂线，正面投影5′（4′）积聚为一点，水平投影5—4也可直接按投影规律求出。P平面与B、D两棱线的交点Ⅵ、Ⅲ的正面投影6′、3′和水平投影6、3可直接找出。将求出的交点顺次连接，即得所求截交线。

以上两例在求出截交线后，可利用换面法求出截断面实形。

2.平面与曲面立体相交

平面与曲面立体相交，截交线为平面曲线，曲线上的每一点都是平面与曲面立体表面的共有点。所以，若要求截交线，就必须找出一系列共有点，然后用光滑曲线把这些点的同名投影连接起来，即得所求截交线的投影。

求曲面立体截交线，常用以下两种方法：

1）素线法。在曲面立体表面取若干条素线，求出每条素线与截平面的交点，然后依次相连成截交线。

2）辅助平面法。利用特殊位置的辅助平面（如水平面）截切曲面立体，使得到的交线为简单易画的规则曲线（如圆），然后再画出这些规则曲线与所给截平面的交点，即为截平面与曲面立体表面的共有点，即可作出截交线。

下面将展开放样中最常见的曲面立体——圆柱和圆锥的截交线情况，分别介绍如下：

（1）圆柱 如图2-20所示。平面与圆柱相交，根据平面与圆柱轴线的相对位置不同，其截交线可有如图2-20所示的三种情况：

1）圆。截平面与圆柱轴线垂直，如图2-20a所示。(www.xing528.com)

2）平行两直线。截平面与圆柱轴线平行，如图2-20b所示。

图2-20 圆柱的截交线

a）截交线为圆 b）截交线为平行两直线 c）截交线为椭圆

3）椭圆。截平面与圆柱轴线倾斜，如图2-20c所示。

例3 正垂面与圆柱相交，求截交线。

如图2-21所示，由于截平面与圆柱轴线倾斜，所以截交线是椭圆。截交线的正面投影积聚于P_V，水平投影积聚于圆周。侧面投影在一般情况下为一个椭圆，需通过素线求点的方法作图。

图2-21 正垂面与圆柱的截交线

先求特殊点。截交线的最左点和最右点也是最低点和最高点）的正面投影1′、5′是圆柱左右轮廓线与P_V的交点。其侧面投影1″、5″位于圆柱轴线上，可按正投影“高平齐”的规律求得。截交线的最前点和最后点（两点正面重影）的正面投影3′位于轴线与P_V的交点，其侧面投影3″、3″点在左视图的轮廓线上。然后，再用素线法求出一般点Ⅱ、Ⅳ的正面投影2′、4′和侧面投影2″、4″。通过各点连成椭圆曲线，即为所求截交线的侧面投影，然后用换面法可求得截交线的断面实形。

（2）圆锥 平面与圆锥相交，根据平面与圆锥的相对位置不同，其截交线分为五种情况：

1）圆。截平面与圆锥轴线垂直，如图2-22a所示。

2）椭圆。截平面与圆锥轴线倾斜，并截圆锥所有素线，如图2-22b所示。

3）抛物线。截平面与圆锥母线平行而与圆锥轴线相交，如图2-22c所示。

4）双曲线。截平面与圆锥轴线平行，如图2-22d所示。

5）相交两直线。截平面通过锥顶，如图2-22e所示。

图2-22 圆锥面的截交线

a）截交线为圆 b）截交线为椭圆 c）截交线为抛物线

d）截交线为双曲线 e）截交线为相交两直线

例4 正垂面与圆锥相交，求截交线。

如图2-23所示，因为截平面P与圆锥轴线倾斜，并与所有素线相交，故知截交线为椭圆。截交线的正面投影积聚于P_V，而水平投影和侧面投影可用素线法或辅助平面法求出。本例选用素线法，具体作图如下：

先求特殊点。P平面与圆锥母线的正面投影交点为1′、5′，其水平投影在俯视图水平中心线上，按“长对正”的投影规律可直接求出1、5两点。1′—5′线的中点3′是截交线的最前点和最后点（两点正面投影重合），可过3′点引圆锥表面素线，并作出该素线的水平投影，则3′点的水平投影必在该素线的水平投影上，可按“长对正”规律作出。同样的方法，求出一般点2′、4′对应的水平投影2、4。通过各点连成椭圆曲线，即得截交线的水平投影。

截交线的侧面投影，可根据其正面投影和水平投影，按正投影规律求出。截断面实形为椭圆，可用换面法求得。