特征线有限差分方程式

如图5.2所示，将特征线C+曲线作为积分曲线，对常微分方程（5.28）从A点至P点方向进行积分得

在积分过程中，若Δt无限小可进行一阶近似处理，使得微小流段流量Q=Q A，积分后为

图5.2　特征线方程的意义

对式（5.28）沿特征线C-进行近似有限差分运算，得：

式（5.30）和式（5.31）即为计算所得有限差分方程，又因为t P-t A=Δt、t B-t A=Δt，Δx=aΔt，经过变换得到

在对有限差分方程进行计算时，通过沿特征线积分以及一阶近似差分处理，特征线成为一条斜率不变的直线，可以通过如图5.3所示的矩形网格表示。把一个完整管道被分为N段，每段间距用Δx表示，每段位置用i来表示，i=1为初始位置，i=N+1终端位置，计算步长为。

图5.3中的每个矩形网格都是由Δt和Δx组成，网格的对角线为特征线。由t=0开始算起，处于稳态阶段，A、B两点的参数已知，第一阶段计算时间t=0～Δt，通过式（5.32）和式（5.33）计算可得到P点的各种参数。同理，可通过其余各点在起始时刻的参数计算得到Δt时刻的各点参数。下一步将Δt时刻各点参数作为初始条件，进行下一时间段各点参数的计算，依次类推，可以计算得出所有节点的参数。(www.xing528.com)

图5.3　特征线差分方程矩形网格

由于计算过程相同，将相容性方程的下标进行替换，A、B、P分别用i-1、i+1、Pi来表示，使用计算机进行计算即可得到各点的参数，式（5.32）和式（5.33）表示为

式中：由于B和R是计算常数，式（5.34）和式（5.35）可化简为

式中

C P、C M可以在进行下一阶段计算前由A、B点的参数确定，通过式（5.36）和式（5.37）得到

两条特征线的交点处的参数可以通过式（5.40）和式（5.41）计算得到。在管道两端位置或其他特殊条件下，可通过单条特征线结合其他边界条件进行求解。