特征线微分方程的推导

经过专家学者多年对水锤的研究，水锤计算方法也越来越成熟。解析法、图解法、特征线法是使用最多的水锤计算方法。随着计算机技术的进步，特征线法相比其他水锤计算方法更精确、便捷，很快在工程实例中得到了广泛应用，是目前水锤计算的主要方法。下文对特征线微分方程与有限差分方程进行了推导，并对有限差分方程进行了简化。

水锤的两个基本方程是一组准线性双曲线偏微分方程，其中的管道长度x和瞬态过程的时间t为自变量，管道水头H和流体流速V为因变量。用L 1和L 2表示两个准线性双曲线微分方程为：

选取一个待定系数λ，使得L 1×λ+L 2=0成立，则

选取两个特殊λ值代入式（5.16），得到含有未知量H和V新的常微分方程组：

以式（5.16）和（5.17）为基础，令

分别根据式（5.18）和式（5.19）将式（5.16）中的和的各项转变为全微分。

要得到式（5.16）的全微分方程，需要令(www.xing528.com)

求得

将得到的两个λ式（5.21）分别代入到式（5.18）与式（5.19）中，得到特征线表达式

将式（5.21）代入式（5.16），则求得与偏微分方程组（5.16）等价对应的常微分方程组：

此常微分方程组表示管道内流体发生瞬变时的状态。其中C+表示沿着x方向的水锤，C-表示沿着x反方向的水锤。C+和C-曲线称为特征线。式（5.23）和式（5.24）被称为相容性方程，其根就是两个水锤基本方程的解。实际工程中管内流体流速V相比水锤波波速a要小很多，因此流体流速V可忽略不计，管道倾斜角度较小时，V sinα也可忽略不计，于是得到以下方程组：

为了简化计算过程，流体流速V可用流量参数Q表示，则得到以下方程组：