水能计算的基本方程和主要方法总结

一、水能计算的基本概念

天然河流的能量是一种尚未开发的水能资源，这种河流的潜在能源，可用下面方法来确定。

设有水体W m3，自上游断面1-l流经下游断面2-2（见图12-1）。由水力学知识可知，含蓄在该水体内上、下断面的能量分别为

图12-1　天然河道能量

式中　Z——断面的水面高程；

　　　g——重力加速度；

　　　——断面处平均压力水头；

　　　V——断面平均流速；

　　　α——流速不均匀系数；

　　　γ——水的容重，为9.8kN/m3。

E1和E2两值之差，就是水体W在该河段中消耗的能量，用下式表示

式中，E1-2的单位为N.m。

如果上下断面流速及其分布情形是相同的，且其平均压力也相等（这种假定误差不会很大），则α1V1=α2V2，P1=P2，式（12-3）变为

式中　H——两断面水位差，称落差或水头。

在天然河道情况下，这部分能量消耗在水流的内部摩擦，夹带泥沙及克服沿程河床阻力等方面，可以利用的部分往往很小，且能量分散。

为了充分利用两断面间能量，就要有一些水利设施如壅水坝、引水渠道、隧洞等，使落差集中，以减小沿程能量消耗，同时把水流的位能，动能转换为水轮机的机械能，通过发电机再转换成电能。

由于水能利用取决于落差和流量两个因素，且受地形、经济条件等限制，所以水电站开发方式，因地区而异。如以水电站集中落差的方式来分类，则有蓄水式水电站，引水式水电站和混合式水电站三类（见图12-2）。

第一类：蓄水式水电站，如图12-2（a）所示，是在天然河道中拦河筑坝，形成水库，集中河段落差。其优点是能调节水量，提高径流利用率，缺点是基建工程较大，且上游产生淹没区。这一类电站大都见于流量大，地势较平缓的河段，同时还要有适合建坝的地形、地质条件。

图12-2　各类水电站示意图

（a）蓄水式水电站；（b）引水式水电站；（c）混合式水电站

第二类：引水式水电站，如图12-2（b）所示，多位于河道坡度较陡的中上游。只要在河流上修建低坝及引水工程，就可通过引水渠道集中落差，在引水渠末端，接上压力水管，将水引入水电站厂房来发电。这种引水式电站，工程造价往往较低，常为农村所采用。如在山区河流坡度陡峻处短距离引水，即可获得较大落差。又如在高差较大的相邻河流，可通过隧道进行跨流域引水发电，如云南以礼河梯级开发，其落差可达几百米。

第三类：混合式水电站，如图12-2（c）所示。此种电站兼有上述两类特性。水电站所利用的河流落差一部分由拦河坝来抬高。另一部分由引水建筑物（动力渠道等）来集中以增加水头，坝所形成的水库，又可调节水量，所以兼有前面两类的特点。

选择何种开发形式，取得多少能量，主要通过技术经济比较，而水能计算的目的是定出水电站的一些基本技术生产指标（或称动能指标）如出力及发电量，水电站的工作情况及这些动能指标与参变数（正常蓄水位，死水位等）之间的关系，以供规划设计、方案选择之用。确定水电站动能指标值（出力、发电量）的计算，称为水能计算，或叫水能调节计算，它是水利计算的一个专门部分。

水电站的出力计算可应用公式（12-4）。设发电流量为Q（m3/s）。在Δt秒内，有水体W=QΔt通过水轮机流入下游，则由式（12-4）可得水量W下落H所做的功

由物理学概念，单位时间内所作的功叫功率，故水流的功率为

式中，取γ单位为kN/m3；Q单位为m3/s；H单位为m，代入式（12-5）中，则

功率N又称出力，相应地功的实用单位是kW.h。

上面两式是计算出力的理论公式，但运行中的实际出力要小一些。这是因为水流通过拦污栅、进水口、引水管到水轮机，并经尾水管排入下游河道的整个过程中，都有沿程水头损失和局部水头损失。这种水头损失ΔH可以通过水力学公式来计算。所以净水头

式中　ΔH——各种水头损失的总和。

此外，由水能变为电能的过程中也都有能量损失，令η为总效率系数（包括水轮机、传送带和发电机效率），则式（12-6）为

图12-3　水轮机运转综合特性曲线（曲线数字为%）

由此可知，水电站出力大小与η、Q、H有关。从这里可以看出水能计算与一般的水利计算不同之处，首先它并非单纯利用水量，而是利用水量与落差的乘积所代表的能量，有一个水头利用问题。其次，水能计算必须考虑到落差和效率的影响，效率系数η（主要是水轮机效率）不是固定不变动的，它与出力、水头、下泄流量等有关。图12-3为某类型水轮机运转综合特性图。图中曲线反映了水轮机效率的这种关系。H为水头，N为出力，η为效率系数。此图表明H一定时，η随N而变，其间有一个效率最高值。反之，出力不变时，η也随H而变，其间也有一个η最大值。图中H额为额定水头，它表示在该水头以上，机组可发出额定出力（也称额定容量）。在额定水头以下，机组可发的最大出力随H之减小而减小。这是因为流速与H1/2成正比，当水头H很小时，流速也就很小，即使导叶全开，过水断面达最大，但因流速小，水电站发电流量的增加仍然有限，加上效率也减少，故水轮机可发的最大出力小于额定容量，这种现象称为水电站容量受阻。水头越小，受阻容量越大，因此在运行时水头有一定范围，在此范围内水轮机效率较高，出力受阻较小。这个范围一般以最小水头不小于最大水头的60%～70%来控制。应该指出，各种型号的水轮机有不同的运转综合特性曲线图。

但是，考虑水头损失和不同效率的水能计算，往往相当复杂，所以实际计算中，通常把机组效率作为常数来近似处理。这样，水能计算基本方程式便为

式中　K——机组效率的一个综合效率系数，称为出力系数，由水轮机模型试验提供，也可参考表12-1选用；

　　　Q——水电站发电流量；

　　　Z上、Z下——上、下游水位。

表12-1　出力系数表

二、水能计算内容(www.xing528.com)

在第十一章中，讲到径流调节计算的任务是解决来水、需水，设计保证率和库容四者之间的关系。水能计算的任务，广义地说，和径流调节一样，也是解决这四者间的关系。这里，可以把“库容”扩大理解为工程规模，“需水”则变为用户需电，同一般径流调节计算一样，来水作为原始水文资料、而保证率可根据工程规模事先规定。所以经常遇到的水能计算任务是确定电站效益与工程规模之间的关系。由于用户需要的是电能，因此除供水量外尚需考虑水头因素，它比一般的径流调节计算要复杂一些。

电站效益通常用保证出力和多年平均电能两指标来衡量，而工程规模则以水库正常蓄水位和有效库容、引水渠道尺寸及电站装机容量为指标。它们之间的关系由于影响因素多，比较复杂，通常难以用数学方程式来表达。所以在工程规划设计时，总是先拟定若干个不同正常蓄水位方案来分别计算。首先根据地形、地质、淹没条件，对可能考虑的水库正常蓄水位拟定几个方案，然后对每个方案分别进行水能计算，确定最有利的死水位，保证出力，装机容量，多年平均电能等。显然，正常蓄水位越高，调节库容越大，保证出力、装机容量，多年平均电能也越大，其发电效益也越显著，然而水电站投资也越大。这样，可以通过不同方案的综合经济比较来选定合理的正常蓄水位，保证出力，装机容量和多年平均电能，这些就是水能计算或水能设计的主要内容。正常蓄水位选择的经济比较问题，将在第十六章中专门介绍。本章介绍正常蓄水位已定条件下的水能计算方法。此外，与水能设计有关的动力设备选择（机组类型、尺寸等），不在本书介绍范围内。

三、水能计算的基本方程和主要方法

水能计算最基本的任务就是计算水电站动能指标——保证出力和多年平均电能。水电站出力公式为

如考虑水头损失，则该水头损失值也是q的函数。因此上式又可写成下列形式

式中　Z下——下游水位，在无弃水的情况下，与下泄流量q是固定关系，一般用下游水位—流量关系曲线表示。此曲线为便于分析或电算，也可用指数函数来选配，如

式中　α0、n——常数。

q和库水位的关系，则可用水量平衡方程来表达，即

如果库容曲线也以库水位h的函数形式表示，例如三次多项式

则把关系式（12-10）、式（12-11）、式（12-12）代入式（12-9）或式（12-5），即可得出按时序t作水能调节计算之基本微分方程式

式中　h（t）——自库底起算之库水位高程或落差；

　　　H0——下游水位基准点距库底之高差（见图12-4）。

因有

式中　A（h）——水库面积。

故利用式（12-12）、式（12-14），可将微分方程式（12-13）写成下列最终形式

图12-4　水库及下游河床剖面图

当Q（t）、N（t）之函数形式（即它们的年内变化过程）已经给出，及A（h）为已知时，结合已知h的边界（起始）条件来求解上述微分方程，就可得出全年水库蓄泄曲线h（t）之解析式。但是，一般情况下，上述非线性微分方程之求解是困难的。因此实际计算中，常不得不用其他方法，如数值解法和列表试算法、图解法等来求解。

（1）数值计算法。这是解微分方程的一种近似解，有欧拉法、梯形法、龙格—库塔法等（可参看有关计算方法书籍）。此种方法要多次迭代，计算工作量颇大，但随着电子计算机广泛应用，它是有前途的。

（2）列表试算法。这是一种试算方法，它不是直接用积分求解出力微分方程，而是通过求解水量平衡微分方程式（12-11）及式（12-9）、式（12-10）、式（12-12）来代替。由于式（12-9）、式（12-11）为隐函数，故须试算求解，具体解法是先将微分方程式（12-11）改为有限差

通过假定某一个未知的值，逐步求解各个方程式。如果与假定值不符，再重新假定（见表12-2）。

表中计算时段Δt为一个月。第2项天然来水量为已知值。第3项电站出力，即用电要求，若已定出，则归结为水电站已知出力工作时，欲求水库蓄泄过程。而就一个计算时段而言，是由时段初推求时段末的水库蓄水量和发电流量。现假定时段发电流量（第4项）为200m3/s，则根据水量平衡可求出水库蓄、泄流量。以第2项减去第4项，将结果填入第5项。第6项中时段末蓄水量为时段初蓄水量加第5项。第8项为第6项时段初、末之平均值。第9项水库平均水位由第8项查库容曲线而得。第10项下游水位由第4项发电流量加第7项弃水，再查下游水位流量关系曲线。第11项为第9项减第10项。第12项系按N=kqH公式计算，q、H见表12-2，K为已定出力系数。从表12-2中可见第4项假定发电流量所求得的出力（第12项），显然与已知出力（第3项）不等，说明原假定发电流量不正确（这里是偏大），就要重新假定发电流量，如表12-2中第二行所示，直到第3和第12项两个出力相等为止。

表12-2　列表试算法K=8.3

列表试算法精度容易控制，但计算工作量大。

（3）图解法。为减少工作量，避免试算，常用图解法。这类方法很多，有马斯契兹基等的图解法，半图解法和通用工作曲线图等等，各有特点。下面介绍一种较为简便的半图解法。

水能调节计算一般是在已给各时段出力下，连续地联解水量平衡方程和动力方程式（12-8）。

设以V1代表时段初库蓄水量，代表时段平均库蓄水量，则水量平衡方程可改写成下式

将上式中已知变量移向左端，未知变量移向右端，得

式（12-16）左端为已知值，仅右端q为待求值，须根据已给之N值由动力方程式N=kqH，结合库容曲线V=f（h）和下游Z下—q关系线来求解。这一隐函数求解步骤，一般需要试算，为避免这一点，故宜先列表计算出各种N、q值下的值，并绘成—N—q关系曲线，以供查用。

此曲线组（见图12-5）称水能计算工作曲线，也可称动力方程曲线。工作曲线的计算如表12-3所示表中第1、2项是根据电站可能范围定出，第3项由出力公式q=N/kH求出。第4项查水位流量关系曲线。第5项=H+Z下。第6项由第5项查库容曲线而得。第7项=（6）+（3）/2。由第1、3、7项组成一组解，绘成如图12-5的等值线。

图12-5　水能计算工作曲线

利用式（12-16）和图12-5就可方便地进行水能调节计算。因式（12-16）左端为已知值，所以右端也就已知，如果出力已定，可通过图12-5求出发电流量（若已知发电流量，也可求出相应的出力），再通过水量平衡（列表）计算求出时段末的库蓄水量，它也是下一时段初的库蓄水量，于是可用同样的方法进行下一时段的计算。依此可求得各时段的出力，如表12-4所示，表中第6项即为由水能计算工作曲线查得者。应当指出，表12-4中N和q是时段Δt内的平均值。如果求时段初、末瞬时出力和瞬时发电流量，只需将水量平衡方程式略加改变（如调洪演算公式那样），也可仿照上述方法计算，用不着改变水能计算工作曲线。如需要逆时序计算时，其水量平衡方程式为

表12-3　水能计算工作曲线计算表K=8.3

表12-4　水能计算表

而水能计算工作曲线改为—N—q关系曲线。在出力计算表12-3中，第7项也相应改为即可，这种逆算有时也要用到。