数理统计：几率理论在径流调节中的应用

一、基本出发点

在径流多年调节计算中，应用数理统计理论之所以有其必要性和可能性，是基于下列几种原因。

1.时历法的缺陷

前已指出，径流调节计算是为了预报水利设备未来的工作情况。计算的首要任务在于确定调节流量、库容和保证率三者间的关系。在年调节时，由于主要研究调节周期不超过一年的年内各种流量的循序变化，因此如有几十年的水文资料，就可以得到几十个调节循环的状况，一般已足够精确地用来判断水利设备未来工作的保证情况。在多年调节中，则由于调节循环长达几年，即使有较长的水文资料，多年调节循环的次数不多。如果用时历法根据不太长的实测系列计算，就带有较大的偶然性，不能正确反映水库未来工作的一切可能情况。特别是当用水保证率和调节程度较高时，要用时历法来考虑稀遇的径流变化和组合情况以推求库容就更为困难。

2.径流变化的数理统计规律

河川径流的变化服从随机事件的统计规律，可以用适当的数学模型、线型和统计参数来描述。利用这些统计规律可以求得水库工作情况，如供水的保证率，以及弃水和水库蓄水量多年变化的情况等。

3.调节计算成果进行综合概括的可能性

前面曾提到从获得水利计算基本成果的途径来看，时历法是先调节计算后频率统计；数理统计法则相反。但是应用时历法的途径，要对水库多年工作情况（例如供水量和库位的变化，弃水的大小等）进行几率分析，存在困难。因为经过人工调节后的这些水利要素变化的频率，服从于复杂而又难以用数学式子来表示的规律。例如水库水位只变化于一定间隔，上限为满库，下限为空库，且多年中放空与蓄满的几率都显然不等于零。一年内供给用户的水量，电量同样受到渠道、水轮机等设计容量的限制。因此，用时历法根据有限系列计算所得之成果，往往不能用数理统计的理论来处理和概括，以求出多年工作的一般情况，而只能是个别的，为资料情况所决定的局部情形，这是一方面。其次，也由于这样，在不同河流上，不同水库间的计算成果，也无法予以综合，或推广应用。

不同河流，不同水库的来水、需水及库容大小往往相差悬殊，为了便于综合和推广应用，在径流调节计算中常采用一套相对值：

径流调节系数α，为调节流量QH与多年平均流量Q0的比值，即

库容系数β，为有效库容V与多年平均径流量W0的比值，即

在应用数理统计法（又称概率法）时，由于先利用了径流多年变化的一定的规律性，对来水进行了数理统计的概括，然后再进行调节计算，因此上述时历法的第一个困难就可大致解决。其次，由于径流变化的频率曲线可以概括为几个统计参数，如Q0、Cv、Cs，因此，如果在水库水量平衡的调节计算中采用上述的一套抽象系数如α、β及模比系数K，则对于年来水量、需水量、库容等绝对值大小虽不相同的水库，其水利计算的成果仍得以综合而相互比较。例如，可以根据不同CV值（Cs为Cv之固定函数）综合出一套β多—α—P的关系图。这样的图对于设计其他水库时，就可以直接移用，因而解决了时历法的第二个不足之处。

由于上述原因，在多年调节计算中，数理统计的理论便成了有力的工具。

但是，根据实测资料作为样本，对总体的统计特征值：均值、Cv、Cs、相关系数及线型等作出估计，同样也存在着相应的抽样误差。

二、频率曲线的组合

在水利计算中，为了研究两种随机变量合成影响下某一现象的几率分布情况，需要通过频率曲线的组合。例如，来水与用水组合计算，干支流径流的汇合，水库蓄水量与来水量的组合，以及上游水库泄水与区间来水的组合等，就常遇到这样的问题。

进行频率曲线的组合计算常用的有三种方法：频率组合公式计算、图解法和理论分析法。二变量间可以是相互独立的，也可以存在一定的相关关系，先从无相关关系的频率组合着手。

1.频率组合公式计算

设x及y为两个独立变量，例如x表示支流甲的年水量，y表示支流乙的年水量，见图11-12（a），x及y之多年变化可分别用频率曲线来表示，如图11-12（b）、（c）。欲求此两独立随机变量之和z=x+y（即二河汇合下游年水量）的频率曲线。

为了便于计算，首先需将其中某一条频率曲线，例如y变量之频率曲线加以简化，用若干个阶梯来近似，如图11-12（c）所示。当然阶梯分得越多，近似程度越好，精度越高，但计算工作量和要求计算机容量越大。为了说明方法的原理，这里只取二个阶梯来作为y频率曲线的近似。

图11-12　两频率曲线之组合计算

现欲求z≥z1的频率。譬如说z1=100，y只可能出现两种情况：y′=40，其出现的几率（即阶梯宽）n′=0.4；y″=30，其出现的几率n″=0.60。因此所有出现z≥100的事件也只可能有两种：第一种是y出现y′=40，而x出现x′≥z1-y′=100-40=60；第二种是y出现y″=30，而x出现x″≥z1-y″=100-30=70。

出现第一种事件的几率为n′P′=0.4×0.3=0.12。

出现第二种事件的几率为n″p″=0.6×0.2=0.12其中p′及p″分别为x≥x′及x≥x″之频率本例为0.3，0.2。因此z≥z1总的出现频率为p（z≥z1）=n′P′+n″p″=0.12+0.12=0.24。上面仅完成了z频率曲线上的一点。在z的可能变化范围内取若干个不同值，用同样方法计算其出现的频率，最后把足够数量的点据点绘在几率格纸上，即可求得组合后z的频率曲线。

类似地可以求得x与y两频率曲线之差、积和商的频率曲线。

2.图解法

上面的计算也可以用简单的作图方法来完成。将x频率曲线分别往上抬升y′和y″，得两条新的频率曲线x+y′及x+y″，如图11-13（a）所示。在纵坐标z=z1=100处作一水平线，与这两条频率曲线交点之频率必定仍然为P′=0.3及p″=0.2不变。再将x+y′这条频率曲线之横坐标（即频率）乘n′=0.4，得一条新的频率曲线z′，其底宽必定与y′之阶梯宽n′一样。因此这条频率曲线只占了整个横坐标的一部分（n′），如图11-13（b）所示。同样，曲线x+y″的横坐标乘n″=0.6，将这条频率曲线z″放在图11-13（b）中右边余下来的那一部分。相应于纵坐标z=z1=100处作一水平线，分别交这两条频率曲线，得水平截距A、B。A、B的长度分别为P′n′及p″n″。故将此二水平截距相加，即得z≥100之频率。

图11-13　频率曲线组合之图解法

整个图解步骤归纳如下。

第一步：频率曲线y用几级阶梯来简化近似。

第二步：频率曲线x之横坐标根据各个阶梯宽度压缩，即将x频率曲线之横坐标乘阶梯宽。然后将它们分别叠加到相对应之y频率曲线的阶梯上。

第三步：将叠加后之诸频率曲线之横坐标在同一水平线上相加，得组合后之z频率曲线如图11-13（c）所示。

这种图解法虽然简单，但只适用于求二频率曲线之和或差。

上述组合频率公式及图解方法，也可应用于局部频率曲线之组合。例如，当图11-12（c）或图11-13中y仅为全频率曲线之一部分时，即n′+n″＜1.0时。

当x、y间有相关关系（其相关系数为r），并设x依y而相关，那么x的频率曲线不是一条而是一族以y为参数的条件频率曲线（见图11-14）。x的条件频率曲线的绘制方法如下。

设x与y成线性相关，其回归方程为

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式中　x0、y0——随机变量x，y的均值；

　　　σx、σy——随机变量x，y的方差；

　　　——相应于一定的y值的一组x的条件均值。

　　　xy的条件均方差则为

其变差系数

至于条件偏态系数通常假定为。至此，已知及于是就可以查雷布金表绘制出x倚某个y值之频率曲线。

图11-14　x的条件频率曲线

考虑相关关系后的组合频率的方法基本上与前相同。所不同的是根据所发生的y值来选用相应的x条件频率曲线而已。如图11-14所示，在组合时，是将相应于y′的那条x频率曲线之横坐标乘y′的阶梯宽n′后，叠加到y′的阶梯上。同理，将相应于y″的那条x频率曲线之横坐标乘y″之阶梯宽n″后，叠加到y″之阶梯上。以后的步骤就完全同前面所述。

考虑到值对组合频率影响不大，如果假定为常数时，计算就比较简单了。此时由于及均不变，故x的条件频率曲线群互相平行。

3.理论分析法

当两个（或两个以上）随机变量x、y其各自的几率分布曲线已知时，为了求得此两个变量所组成的某种函数z=f（x，y）的几率分布规律，需要解决两个问题，即函数的几率分布曲线的类型及其统计参数。前一个问题目前仅对个别情况为已知，例如独立的n个正态变量组合后函数的分布曲线仍为正态分布。又如，对二参数的Γ分布

式中　α——形状参数；

　　　β——比尺参数；

　　　Г（α）——Gamma函数。

独立的几个具有相同参数α和β的Γ变量之和也是一个Γ分布，其形状和比尺参数为

一般情况下，则假定组合后函数之分布曲线为已知。此时，对于变数的几率分布属于正态或二项分布（CS=2CV）及函数形式属于比较简单的和、差或积的形式时，这些特殊情况下，组合后函数的频率曲线的统计参数，不论变数间有无相关，均可用简单的数学表达式来求出。

设

其中x、y为变量，其相应的频率曲线的参数为x0、σx、y0、σy，相关系数为r，则有

当z由二个以上变量组成时，即

则有

为了简化符号，式（11-18）右边σ和r之脚标上均省去了x之字样。式（11-18）如写成常用之变差系数CV之关系，则为

式中　bi=xio/x10。

应用上述公式可以颇为简便地解频率组合问题，不论变数有无相关。但分析法有一定的限制，因为：

（1）分析法仅适用于函数z为简单的和、差或积的形式，还不能解z=f（x，y）的一般关系形式。也尚不能解被组合变量为前述以外的其他分布线型时。

（2）变量本身的频率曲线常常不能以理论频率曲线来代表和概括，因此z频率曲线也具有复杂的形状，不能求得其概括的统计参数。

频率和频率曲线的组合是许多数理统计为基础的多年调节计算方法（又称概率法）的核心部分。目前，国内外常用的这一方向的多年调节计算方法可分成三大类。

第一类：把总库容划分成多年库容和年库容两部分，分别计算此两部分库容后再组合得总库容，称为组合（或合成）总库容法。

第二类：直接总库容法。

第三类：先根据实测径流资料的统计参数，随机生成模拟长系列资料，再进行调节计算。此可称随机模拟法。

下面分别介绍前两类方法的原理与步骤。