地形图基准与坐标的计算方法

一、地形图应用概述

地形图是水电工程规划设计和施工管理的重要资料，是确定点位和计算工程量的主要依据。水电工程设计人员必须善于正确地使用地形图，能够综合图上各种符号和注记，形成完整的地形立体概念。为此，首先应当了解以下各点：

（1）比例尺。不同的规划设计阶段需要使用不同比例尺的地形图。一般说来，在流域规划阶段需用1∶5万、1∶2.5万或1∶1万的地形图；在预可行性研究阶段需用1∶5千、1∶2千或1∶1千的地形图；在可行性研究和施工详图阶段需用1∶5百甚至1∶2百的地形图。地形图的比例尺，除了用数字形式标注在图的正下方外，有的还用线段表示（见图8-22），称为直线比例尺。使用直线比例尺将图上长度化为实地平距，无需通过计算，不但非常简便，还能抵消因图纸伸缩引起的部分误差。

图8-22　1∶1万地形图的图廓整饰和注记

（2）等高距和坡度尺。地形图采用的等高距与比例尺和测区地面坡度有关。等高距通常注记在图廓的左下方。为了便于根据等高线量取地面坡度，在正式出版的1∶2.5万和1∶5万小比例尺地形图上绘有坡度尺（见图8-23），在地形图上量取相邻两等高线间的平距，到坡度尺纵线方向上找出与所量平距等长的纵线，该纵线下面所注的度数就是坡度。

（3）地形图图式。地形图一般是遵照国家规定的统一图式测绘的，不同比例尺的地形图所规定的图式有所不同；此外，有的专业部门还根据具体情况补充规定了一些特殊的图式符号。在使用地形图时，必须熟悉相应比例尺的地形图式和有关专业的特殊图式符号。

图8-23　坡度尺

（4）坐标系统和高程系统。在每幅图的左下方或左上方注有地形图采用的坐标系统和高程系统。我国的地形图一般采用高斯平面直角坐标和以黄海平均海水面为基准的高程系统。但高斯平面直角坐标中因大地原点不同，又有1954年北京坐标系和1980年西安坐标系；其中西安坐标系目前尚未全面推广使用。高程系统也因确定的黄海平均海水面位置不同而有“1985国家高程基准”和“1956年黄海高程系”的差别；但新旧高程系统之差只有0.0286m（H新=H旧-0.0286m），对等高线和地形点的高程注记一般没有影响，所以也不妨碍地形图的使用，只是在用到不同时期的水准测量成果时，应注意它们之间的差别。

此外，水文部门为了保持水文观测资料的连续性和系统性，通常只沿用水文站建站时第一次使用的高程基准面，长期固定不变，称为冻结基面。我国统一高程系统确定之前已经建立的许多水文站，其冻结基面因站址所在流域不同，分别采用珠江、吴淞、废黄河口、大沽、大连等基面。有的水文站还以当地最低河床以下0.5～1m处的水准面作为高程基准面，称为测站基面，也是长期沿用的一种冻结基面。在使用这些单位所测绘的地形图和水文观测资料时，必须查清其基面与国家统一高程基准的关系。

（5）地形图的分幅、编号和外图廓。当测区面积很大时，地形图都是分幅测绘的，相邻幅可以互相拼接。每幅图都以图内的一个主要居民地名称作为图名，并编有图号。图名和图号都注在每幅图的上方正中位置。在图幅左上方附有邻接关系表，注以图名或图号表示邻接关系。每幅图都有内外图廓：由经纬线或坐标线所组成的图幅边界线称为内图廓；在内图廓之外相隔一定距离所绘的平行于内图廓的粗图廓线称为外图廓。在内、外图廓之间还有坐标格网线的坐标注记和图廓点的经纬度注记；1∶2.5万和1∶5万的小比例尺地形图上，靠外图廓里面还绘有黑白相间的经纬分度线。外图廓下方一般绘有真子午线、磁子午线和坐标纵线的关系图，标出本图幅内平均磁偏角和平均子午线收敛角的大小。

图8-22反映了1∶1万地形图图廓附近各项整饰注记的具体内容，除上述有关项目外，还注明了成图方法、时间、测绘和出版单位等。

二、地形图应用的基本内容

（一）在地形图上确定一点的坐标

在地形图的图框边线上，注有坐标格网的坐标值，它们是量取坐标的依据。

如图8-24所示，欲求AB直线两端点的坐标xA、yA。及xB、yB。

图8-24　在地形图上确定一点的坐标

先求xA、yA。为此，过A点作坐标格网的平行线ef和gh，然后用比例尺分别量取ag=739m，ae=370m，再加上A点所在方格西南角a点的坐标值（xA=6000m，yA=4000m）即得xA=6739m，yA=4370m。为了校核起见，同时应量取gb和ed，ag+gb及ae+ed应等于方格网的边长。

同理可求得B点的坐标。

由于图纸伸缩影响，从图上实际量出的方格边长往往不等于规定长度（10cm）。为了提高量测结果的精度，消除伸缩影响造成的误差，假设在图纸上量得方格ab边的实际长度为ab，ad边的实际长度为ad，则A点的坐标应按下式计算

在地形图上量取点的坐标，其精度只相当于该图的比例尺精度，即0.0001M（m）（M为比例尺分母）。

（二）在地形图上确定直线的长度和方向

（1）直接量取法。当所量线段较短且精度要求不高时，可用卡规卡取两点间的长度，在直线比例尺上直接比量求得实际距离，而方位角则用量角器量取。为了量得方位角，事先应通过直线起点画出纵坐标轴的平行线，再量取该平行线北端与直线的夹角，即方位角。

（2）坐标反算法。当所量线段很长，甚至跨越图幅；或者要求量测结果的精度较高时，可以先分别量出直线两端点的坐标，再按第六章第三节所述方法用式（6-50）反算出边长和方位角。

（三）在地形图上确定点的高程

地形图上某点的高程可以根据等高线来确定。凡是位于等高线上的点，其高程等于等高线所注的高程；不在等高线上的点，其高程须根据等高线按内插法来确定。如图8-25所示，某点B位于60m与61m两等高线之间，至60m等高线的距离为这两条等高线间平距的2/3，故B点的高程为60+1×2/3=60.67（m）。

图8-25　在两等高线间按内插法求点的高程

（四）在地形图上确定直线的坡度

位于两条等高线间的直线，其坡度可以按本章前面所述方法，从坡度尺上比量求得。如果需求贯穿几条等高线的某直线平均坡度。则须先求取直线两端点间的平距D和高差h，再按i=h/D计算坡度。坡度可直接以高差与平距的比值表示，也可以角度表示。如果以角度表示时，则须根据h/D的计算值查正切反函数求取角值。

三、地形图在水电工程规划设计中的应用

（一）依据等高线绘制已知方向的断面图

绘制断面图的目的，是为了了解某条路线或某个方向上的地面起伏状况。断面图在道路、渠道等工程规划设计中有重要的作用。如图8-26（a）所示，若绘制AB方向的断面图，其步骤和方法如下：

图8-26　根据等高线绘制断面图

图8-27　在地形图上确定汇水面积和水库库容

（1）在图纸上先画一条直线AQ作为横轴，表示平距，再在A点向上作AQ的垂线AH以为纵轴，表示高程。断面图的平距采用与地形图相同的比例尺；高程比例尺一般比平距大10～20倍，以便明显地反映地面起伏变化情况。比例尺确定后，在起点A注出AB方向最低等高线的高程，再依比例尺在纵轴上截取等高距，并依次注至最大高程。

（2）在地形图上量取AB方向线与等高线的各交点至起点A的距离；然后从横轴AQ上的A点开始，根据所量距离依次定出各交点在横轴上的位置。

（3）通过横轴上所定各交点作横轴的垂线，按其交点高程分别在各垂线上定出相应交点的高度位置。

（4）将垂线上各高度位置的交点用光滑曲线连接起来，即为断面图，如图8-26（b）所示。

（二）在地形图上确定汇水面积

河流或沟谷某横断面以上分水线所围成的面积，称为汇水面积或集水面积。确定汇水面积的目的是为了计算来水量的大小，在水利水电工程建设中有着极其重大的意义。

为了确定汇水面积，首先应绘出分水线。勾绘分水线应注意如下几点：

（1）分水线应通过山顶和鞍部，与山脊线相连。

（2）分水线应与等高线正交。

（3）汇水面积边界包括断面线（即坝轴线）本身，应从断面线一端开始再回到另一端，形成闭合环线。

在图8-27中，虚线所包围的部分即为某坝址上游的汇水面积。

（三）水库库容的计算

水库库容即水库在一定水位时所蓄积的水量，以立方米（m3）为单位。如图8-27中的晕线部分，表示水库淹没区；淹没界线以下所蓄积水量即为水库库容。

库容计算一般采用等高线分层法，即先求出淹没范围内每条等高线与坝轴线所围成的面积Ai，取相邻两等高线所围面积的平均值乘以等高线间的高差h，即得一层体积；然后取各层体积的总和即得库容V。但计算时应当考虑到以下两点：

（1）当淹没界线的高程（即设计水位）不等于图上某条等高线的高程时，应先用内插法画出淹没界线（此处将淹没界线当成等高线看待），并求出它围成的面积A1及其与下面相邻等高线间的高差h′，再计算这两者之间的体积。

（2）库底层的体积应根据最低等高线所围的面积An+1及其与库底最低点（没有等高线）间的高差h″按锥体进行计算。上述方法归纳为一个公式即为

（四）在地形图上确定土坝坡脚线

土坝坡脚线即土坝坡面与地面的交线。根据有关设计数据，可以在地形图上标出坡脚线，确定清基范围。具体方法如下：

（1）在地形图上标出坝轴线，根据坝顶设计高程和坝顶宽度，找出坝轴端点，绘出坝顶边线。

（2）根据上、下游坝坡面的设计坡度，算出与地形图等高距相同的坝面等高线至坝顶边线的平距，再据此绘出坝面等高线（它们是与坝顶边线平行的一些直线）。

（3）将坝面等高线与同高程的地面等高线的交点连绘成光滑的曲线，即为土坝坡脚线（见图8-28）。

（五）根据等高线平整场地

图8-28　土坝坡脚线的确定

按照工程要求，将施工场地的自然地表整理成符合一定高程的水平地面或一定坡度的匀坡地面，称为平整场地。在平整场地时，为了使场地内的土石挖方量和填方量基本平衡，以免盲目挖填浪费劳力和时间，往往需要利用地形图设计挖填方案，进行挖填方量的计算。下面介绍进行这一工作的基本方法。

1.将自然地面平整成水平场地

为了在挖填方量基本平衡的条件下将自然地面平整成水平场地，必须先求得合理的水平场地设计高程，再以此高程为基准计算地面各点的挖、填深度和挖、填方量。利用地形图进行这项工作的步骤和方法如下：

（1）在地形图上施工场地范围内绘制方格网。格网边长依地形情况和挖、填方量计算的精度要求而定，一般为10m或20m。

图8-29　水平场地高程设计和挖填方量计算图

（2）根据等高线按内插法求出各方格角顶的地面高程，标注在相应角顶的右上方（见图8-29）。

（3）根据各方格角顶的地面高程计算场地平面的设计高程。为此，须先将每一小格的4个角顶高程相加除以4，求得每一小格的平均高程；再将每一小格的平均高程相加除以方格总数n，即得设计高程。但分析这一计算过程可以发现，不同位置上的角顶高程分别使用了不同次数：场地四角不与其他方格公共的角顶只用了一次；场地周边关联两个方格的公共角顶用了两次，关联3个方格的公共角顶用了3次；场地中间关联4个方格的公共角顶用了4次。根据这些角顶关联的方格个数不同，分别令其高程为HⅠ、HⅡ、HⅢ、HⅣ是上述计算设计高程的方法可以用一个简单公式表示，即

根据式（8-6）算得图8-29中的设计高程为63.7m。

（4）在地形图上按内插法绘出高程为H设的等高线，即得挖、填分界线；图中用梯田符号表示，符号的短线指向填方区，另一部分则为挖方区。

（5）计算各方格角顶的挖、填深度h

h为“+”表示挖方，为“-”表示填方。将h值标注在各方格相应角顶的左上方。在挖、填分界线上，h=0。

（6）分别计算挖、填方量。对于所有整格都是挖方或填方的部分，可按下式计算方量V，即

式中　b——方格网边长；

　　　hⅠ、hⅡ、hⅢ、hⅣ——纯挖区或纯填区不同关联方格个数的角顶挖填深度。

对于那些有挖有填的方格，应分别计算每一格中的挖方量和填方量。因为这些非整格的挖方或填方面积形状是由挖填分界线和格网线围成的近似三角形（包括弓形）或近似四边形，虽然其中有两点挖填深度为零，但平均挖深或填高米数仍应按三点（三角形和弓形）或四点（四边形）取值（包括零）计算；将算得的平均挖深或填高米数乘以相应的非整格面积，即得非整格的挖方或填方量。

最后，分别求出总挖方量和总填方量，二者应基本平衡。

2.将自然地面平整成匀坡场地

为了将自然地面平整成一定坡度i的匀坡场地，并保证挖填方量基本平衡，可按下述方法确定挖填分界线和求得挖填方量：

（1）根据场地自然地面的主坡倾斜方向绘制方格网（见图8-30），即使纵横格网线分别与主坡倾斜方向平行和垂直。这样格线即为匀坡的坡面水平线（其中一条应通过场地中心），纵格线即为设计坡度线。(www.xing528.com)

图8-30　匀坡场地设计高程和挖填方量计算图

图8-31　透明方格法量测图上面积

（2）根据等高线按内插法求出各方格角顶的地面高程，标注在相应角顶的右上方；然后按式（8-6）计算场地重心（即中心）的设计高程H重（图8-30中H重=63.5m，标注在中心水平线下两端）。

（3）计算匀坡坡顶线和坡底线的设计高程

式中　D——顶线至底线之间的距离。

在图8-30中，i=10%，D=40m；算得H顶=65.5m，H底=61.5m，分别注在相应格线的下两端。

（4）确定挖填分界线。为此，由设计坡度和顶、底线的设计高程按内插法确定与地面等高线高程相同的匀坡坡面水平线的位置，用虚线绘出这些坡面水平线，它们与地面相应等高线的交点即为挖填分界点，将其依次连接即为挖填分界线。

（5）根据顶、底线的设计高程按内插法计算出各方格角顶的设计高程，标注在相应角顶的右下方；将原来求出的角顶地面高程减去它的设计高程，即得挖、填米数，标注在相应角顶的左上方。

（6）计算挖填方量。计算方法与整成水平场地相同。

四、面积量测

在地形图上量测和确定面积的方法很多，常用的有透明方格法、平行线法、解析法和求积仪法。

（一）透明方格法

如图8-31所示，将一张绘有方格网的透明纸覆盖在欲测的图形上，先数出图形内完整的方格数，再用目估法将图形边缘不完整的方格折合成完整的方格数，求得整个图形的方格总数n；再根据地形图比例尺确定每方格所代表的实地面积，设为S（m2），则图形的实地面积为nS（m2）。

（二）平行线法

如图8-32所示，将一张绘有等距平行线的透明纸覆盖在欲测图形上，将图形分割成若干近似的梯形，梯形的高就是平行线的间距d，每个梯形上、下底的平均值（即中线长）以li表示，则图形的总面积为

图8-32　平行线法量测图上面积

图8-33　解析法计算面积原理

为了计算简便，常使平行线间距d=1cm。这样，只需量取各梯形中线长，其总和即为所测图形的面积（单位：cm2）。

为了将图上面积化为实地面积，如果是地形图，则应乘上比例尺分母的平方；如果是纵横比例尺不同的断面图，则应乘上纵横两个比例尺分母之积。

（三）解析法

当所需量测的图形为多边形，而且要求面积量测结果有较高的精度时，可以采用多边形各顶点的坐标计算面积。其坐标值按本节前面所述方法量得。

如图8-33所示，设四边形各顶点的坐标分别为（x1、y1）、（x2、y2）、（x3、y3）、（x4、y4），由图8-33可知，其面积

对于n边形面积，可以得出一般公式为

式中，当i=1时，i-1=n；当i=n时，i+1=1。

式（8-11）表明，多边形的面积等于所有纵坐标x顺次与它前后两点横坐标之差的乘积，再取其总和的一半；或者等于所有横坐标y顺次与它后前两点纵坐标之差的乘积，再取其总和的一半。

（四）求积仪法

求积仪有两大类，即机械求积仪和电子求积仪。随着电子求积仪的问世和普及，将要取代机械求积仪。但目前机械求积仪仍在应用，故下面同时予以介绍。

1.机械求积仪

（1）机械求积仪的构造。机械求积仪主要由极臂、航臂（描迹臂）和计数器等三部分组成（见图8-34）。

图8-34　机械求积仪

1）极臂。臂的一端有一重锤，锤底中央有一小针，小针可刺入图板以作为极臂的旋转中心，称为极点。极臂的另一端装有圆头短柄，将其插入航臂的小圆孔中，使极臂与航臂连接。

2）航臂。又称描迹臂。臂的一端有描迹针，又称航针。针旁有一个起支撑作用的小圆柱和一个手柄。航臂的另一端装有计数器。

3）计数器。主要由计数轮（测轮）、计数圆盘和读数游标组成。当描迹针沿所测面积边线移动时，测轮随着滚动；测轮滚动一周，计数圆盘旋转一格。利用读数游标可以读出测轮上一小格的1/10。因此，从计数器上可读得4位数字：计数圆盘上读得千位，测轮上读得百位和十位，游标上读得个位数（游标上离开零指标线的第几条分划线与测轮分划线重合，个位数就是几）。在图8-35中，读数为3682。

（2）机械求积仪的用法。用机械求积仪量测图形面积时，一般将极点放在图形之外，将描迹针对准图形边界线上某点作为起点，读出起始读数n始，然后将描迹针按顺时针方向以匀速绕边界线一周，回到起点，读出终了读数n终。计算面积的公式为

式中　c——求积仪的单位分划值，即测轮一个单位分划所代表的图形面积。

　　　c值的大小与航臂的长度有关，当航臂长度固定时，c值是个常数。在求积仪盒内的卡片上，一般载有不同航臂长度（从航臂上可以直接读出）所对应的c值；如果盒内没有注明c值时，可以通过自行检验求得。检验时，将描迹针沿已知面积为A′的正方形或圆形绕行一周，读得终始两个读数后，按下式计算c值

图8-35　机械求积仪的读数方法

图8-36　日本KP—90N无极滚动式求积仪

求积仪盒内一般都有专门的检验尺，尺上标明了面积大小，只需将检验尺底面的小针刺入图板、将描迹针套在尺面的小孔内，在图板上靠尺端做一记号，再绕行一周，根据终始两个读数按式（8-13）计算c值即可。

（3）注意事项。使用机械求积仪量测面积时，应注意以下各点：

1）量取面积时，图纸应放在平整、光洁的图板上，将图纸本身的褶皱尽量整平。

2）安置极点时，应使描迹针能描到图形边界线上任何一点，而极臂与航臂之间的夹角尽可能接近90°。

3）当n终-n始出现负值时，应将n终加上10000再减去n始。

4）量测面积或检定c值时，应选取左、右两个极点，使测轮在左、右两个位置各测一次，两次所测结果之差应不超过所量面积的1/200，取其平均值作为量测成果。

5）对于较大图形，可以分为若干小块，分别量测出各小块的面积，然后取其总和。

2.电子求积仪

电子求积仪或称数字求积仪，有定极式或无极滚动式两种。图8-36为日本KP—90N滚动式求积仪，由动极轴和滚轮、计算器和显示窗以及描迹放大镜等三个主要部分组成。这种求积仪操作简便，量测精度很高。测量范围在顺滚轮移动方向无限制，垂直于滚轮移动方向为325mm。如果同一图形作10次以内的测量，可以自动求得平均值；对几个图形分别量测面积时，可以自动实行累加求得总面积。下面介绍这种求积仪的使用方法。

（1）按键功能。在键盘（见图8-37）上，除了电源开关、数字键和小数点键外，主要应弄清下列按键的功能：

1）C/AC：清除键或全清键。清除原有存贮及显示屏上的数据。

2）START：启动键。按下此键，蜂鸣器响，显示“0”，表示可以开始测量。如果在测量中想要保存已测定的数据，必须在按下MEMO键以后才能按START键，否则，仪器内存贮的数据将会消掉。

3）HOLD：固定键。按下此键后，显示符号“HOLD”；在选定了单位和比例尺时，显示屏显示的面积值被暂时固定，并被贮存。再次按下此键，符号“HOLD”消失，暂时固定被解除（但被贮存的数值不变），可以继续进行下面的测量。

图8-37　KP—90N求积仪的键盘

4）MEMO：存贮键。此键只有在按下START键后才能工作。进行平均值测量时，在各次量测结束都要按一下此键；若未按此键而按下START键，则贮存的测量结果被消去，就无法进行平均值测量。

5）AVER：平均值键，测量结束键。按下此键，测量结束，显示符号“MEMO”在显示屏上显示各次量测的平均面积值。当想改变原定单位换算所测面积值时，则应先按UNIT-1、UNIT-2等键后，再按下此键，即显示出换算后的面积值。

6）UNIT- 1：单位选择键1。每按一次此键，可依次选择米制、英制、日制单位。

7）UNIT- 2：单位选择键2。每按一次此键，能在同一单位制内选择单位，如显示米制单位内的cm2、m2或km2；显示英制单位内的in2（平方英寸）、ft2（平方英尺）或acre（英亩）等。

8）SCALE比例尺键。先用数字键输入图形比例尺，然后按下此键，比例尺即被选定存入存贮器内，并显示符号“SCALE”。如果输入的比例尺为1∶x，则存贮的是x2；如果输入的是纵、横两个不同的比例尺，则存贮的是两个比例尺分母的乘积。

9）R—S：比例尺确认键。例如，在选定比例尺为1∶100时，先用数字键输入100。按SCALE键后再按此键即显示10000（1002），表示已正确选定好比例尺1∶100。

（2）使用方法。使用电子求积仪量测图形面积的步骤和方法如下：

1）将欲测图形铺平并固定在图板放上求积仪，使描迹放大镜置于图形中央，并使动极轴（滚筒）与跟踪臂互成垂直状态（如图8-38中的虚线所示）。然后用描迹放大镜沿着图形边界线试描2～3周，以检查跟踪运行（即描迹）是否平滑；若不平滑时，应移动极轴的位置，直至跟踪能平滑运行为止。

2）接通电源。即按下ON键，这时显示屏上显示“0”。

3）选定面积单位，先按UNIT- 1键，选定单位制；再按UNIT-2选定同一单位制下的面积单位。

图8-38　用无极滚动式求积仪量测面积的方法

4）选定比例尺。量测比例尺为1∶x的地形图时，只需用数字键输入x值，然后依次按SCALE键和R-S键即可。如果量测比例尺为x∶1的放大图（如机械图）时，应按1/x的小数形式输入数据，例如2∶1，则输入数据应为0.5，再依次按SCALE键和R-S键。量测横比例尺为1∶x、纵比例尺为1∶y的图形（如断面图）时，则操作步骤为：输入x后，按下SCALE键；再输入y后，依次按SCALE键和R-S键。

5）量测面积。将描迹放大镜的中心照准图形左侧边界线上某点（作一记号）作为起点，如图8-38所示。然后按下START键，蜂鸣器响，显示“0”，再用放大镜中心照准图形边界线按顺时针方向运行，返回到起点时，显示的数值即为图形面积。此时，若要进行累加测量，则按下HOLD键，将求积仪移至另一图形起点，对好后再次按下HOLD键，即可进行量测；若要进行平均值测量，则按下MEMO键后，再对准原图形，按下START键，重又进行量测。测量结束时，按下AVER键，则显示所定单位和比例尺的图形面积。如果测量时没有设定单位，求积仪将自动显示脉冲数值，根据脉冲数值可以计算面积

式中，x为所量图形的比例尺分母、0.1cm2为1个脉冲值所代表的图上面积。

当图形大小超过求积仪一次的可测范围时，须将图形分割成若干部分，用累加测量法逐个进行量测，即可求得整个面积。

在测量过程中，如因故需暂时中止，可按下HOLD键，3分钟后电源将自动关断；欲恢复量测时，依次按ON、HOLD键即可接着进行原来未完的量测工作。

（3）电子求积仪的维护。电子求积仪和计算器一样，是一种比较精巧的电子仪器，若是损坏很难修理，必须注意维护：

1）仪器应存放在阴凉、干燥和洁净的地方，要避免40℃以上的高温、强电磁场及腐蚀性气体的影响。

2）按键操作不能用力过大，同时应严防其他重物挤压和剧烈碰撞。

3）当显示屏上出现“Batt-E”字样时，表示电源将尽，应及时充电；充电时应关上主机（充电时间约15h）。为了延长电池寿命，长期不用时，每两个月应充电一次。