如何计算斜截线实长并在扇形展开图上移动

9.1.1 展开图概述

在机械、造船、化工、冶金等行业中，经常遇到各种各样的金属板制件，如图9-1所示的饲料粉碎机上的集粉筒就是金属板制件。制作金属板制件的过程，一般是先放样，然后下料、加工成形，最后焊接、咬接或铆接而成。

图9-1 集粉桶

1—弯管；2—偏交两圆管；3—喇叭管；4—方圆过渡接头

放样时，将制件的各表面按其实际形状和大小，摊平在一个平面上，这种把制件表面展开画在平面上的图形称为表面展开图，简称展开图。

9.1.2 求实长、实形的方法

绘制展开图的实质就是求制件各表面的真实形状，求制件表面实形的关键在于求线段实长和平面实形。求作线段实长和平面实形，常用的方法有直角三角形法和旋转法。

1.直角三角形法

图9-2(a)中的线段AB为一般位置直线，a′b′和ab都小于AB实长。过点A作一直线AC平行于ab，与Bb相交于点C，则在直角三角形ABC中，直角边AC等于水平投影ab，直角边BC等于A、B两点到水平投影面的距离差ZB-ZA，∠BAC=α，即AB对H面的倾角，斜边AB等于线段实长。根据以上分析，可用直角三角形法求线段的实长。作图步骤如图9-2(b)所示。

图9-2 直角三角形法的作图原理和方法

(1)以线段某一投影的长度为一直角边；

(2)以线段另一投影两端点的坐标差为另一直角边；

(3)所作直角三角形的斜边即为线段实长。

2.旋转法

根据正投影规律可知，当直线平行于某一投影面时，其投影反映实长。因此，求作一般位置直线的实长时，可以垂直于某一投影面的直线为轴，将其旋转到与另一投影面平行的位置，其投影即反映实长，这种方法称为旋转法。

如图9-3(a)所示，AB为一般位置直线，过端点A以垂直于H面的直线OO为轴，将AB绕该轴旋转到正平线位置AB1，其新的正面投影a′b1′即反映实长。从图中可以得出点的旋转规律:当一点绕垂直于投影面的轴旋转时，它的运动轨迹在该投影面上的投影为一圆，而在另一投影面上的投影为一平行于投影轴的直线。作图步骤如图9-3(b)所示。

图9-3 用旋转法求一般位置线段的实长

(1)以a为圆心，把ab旋转到与OX轴平行的位置ab1；

(2)过b′作OX轴的平行线，与过b1作OX轴的垂线相交，得交点b1′；

(3)连接a′b1′，即为线段AB的实长。

9.1.3 展开图的画法

实际立体的表面是复杂的，有可展表面和不可展表面之分。如棱柱、棱锥、圆柱、圆锥的表面是可展表面，这种表面可准确画出它的展开图；而圆球、圆环表面及螺旋面等是不可展表面，对于不可展表面，可采用近似画法画出其表面展开图。

无论金属板制件的外形如何复杂，都可以用图解法或计算法进行展开。本节主要介绍图解法。

1.可展表面展开图的画法

(1)棱柱表面的展开。

图9-4所示为斜口四棱柱管的表面展开。由图9-4(a)和图9-4(b)可知，斜口四棱柱管的水平投影反映各底边实长，正面投影反映各棱线实长。各侧面实形根据投影可直接画出，依次画出各侧面实形，即得表面展开图，如图9-4(c)所示。

图9-4 斜口四棱柱管的表面展开

(a)轴测图；(b)视图；(c)展开图

(2)圆柱表面的展开。

图9-5(a)和图9-5(b)分别为斜截圆柱面的轴测图和投影图，由图9-5(b)可知，斜截圆柱面的各素线长度不等，但仍相互平行且垂直于底面，故其正面投影反映实长。可利用各素线实长按圆柱面展开。作图方法如下:

①将俯视图的圆周若干等分(图中为12等分)，作出圆柱表面上每一等分点对应素线的正面投影。

②将底圆展开成直线，其长度为πD，并将该直线12等分，得点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ…。

③自各等分点作垂线，并截取相应素线的长度，如ⅠA=1′a′，ⅡB=2′b′…，得点A、B、C…。(www.xing528.com)

④将A、B、C…各点光滑连接，即得斜截圆柱管的展开图，如图9-5(c)所示。

图9-5 斜截正圆柱面的表面展开

(a)轴测图；(b)画出素线实长；(c)展开图

(3)棱锥表面的展开。

图9-6所示为空心四棱台的轴测图，求作其表面展开图的步骤如下。

①延长四棱台棱线，求出锥顶点S(s、s′)。利用旋转法求出棱线SA的实长s′a′，如图9-6(b)所示。四条棱线长度相同。

②以S为圆心，以SA的实长s′a′为半径作圆弧。作任一射线SA，在圆弧上截取弦长AB=ab，BC=bc，CD=cd，DA=da，得A、B、C、D、A各点。

③连接SA、SB、SC、SD，即为完整四棱锥展开图。

④按同样的方法得到E、F、G、H、E点，依次连接各点，即得空心四棱台的表面展开图，如图9-6(c)所示。

图9-6 四棱台表面展开图

(4)圆锥表面的展开。

图9-7(a)所示为斜口锥管，其表面展开图的作图步骤如下:

①先画出完整的圆锥表面展开图。圆锥表面展开图是个扇形，扇形半径等于圆锥母线长度，弧长等于圆锥底圆的周长，扇形角为180°d/R(d为底圆直径，R为圆锥母线实长)。

②求出斜截后各素线实长，并将其移至扇形展开图上。

③最后用光滑曲线依次连接各端点，即得斜截切口的展开曲线，完成表面展开图，如图9-7(b)所示。

图9-7 斜口锥管的表面展开

(5)变形接头的表面展开。

图9-8(a)所示为一个上圆下方的变形接头，它由四个三角形面和四个部分锥面组成。对于三角形面，求出各边实长即可画出实形；对于部分锥面，可用三角形法近似画出其表面展开图。

如图9-8(b)所示，画展开图时，首先将水平投影中的圆周等分，得等分点1、2、3、4，将等分点和相近的角点相连接(其意义在于将部分锥面分割成若干个小三角形)，然后求出素线ⅠA、ⅡA、ⅢA、ⅣA的实长L、M、M、L；取AB=ab，分别以A、B为圆心，L为半径画弧，交于Ⅰ点，得三角形ABⅠ，再以A和Ⅰ为圆心，以M和12为半径画弧，交于Ⅱ点，得三角形AⅠⅡ。用同样的方法可依次作出其他三角形，最后光滑连接Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ各点。同理可作出其他部分，完成展开图，如图9-8(c)所示。

图9-8 方圆变形接头的表面展开

(a)轴测图；(b)视图及求实长；(c)展开图

2.不可展表面展开图的画法

球面的近似展开。

球面为不可展曲面，故工程上采用近似画法展开。常用的球面展开方法有近似柱面法和近似锥面法两种，下面介绍近似柱面法。

这种方法是过轴线将圆球分为若干等份，则相邻两平面间所夹柳叶状的球面可近似地看成柱面，然后用展开柱面的方法把这部分球面近似地展开，具体作图方法如下:

①如图9-9(a)所示，用过球心的铅垂面将球面分成8等份，如图9-9(a)所示。

②将球面正面投影的上半圆周o′d′分为4等份，每等份的弦长为t。过各等分点作水平面与球面相交，并画出各截交线的水平投影。

③将o′d′展开成直线OD，并4等分，得A、B、C三点，分别过A、B、C、D作OD的垂线，并截取AⅠ=a1，BⅡ=b2，CⅢ=c3，DⅣ=d4。

④用光滑曲线连接O、Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ各点，即可得到1/8球面的近似展开图，如图9-9(b)所示。

图9-9 球面的近似展开

⑤用同样的方法画出其他部分，得到整个球面的展开图。

前面介绍的展开图的画法，并没有考虑板厚等因素的影响。但实际制作金属板制件时，必须考虑板材的厚度、接口形式、预留咬缝余量、材料的合理利用以及减少焊缝及其长度等。