基本体表面交线的特征分析

机件通常是由一些基本体根据不同的要求切割或组合而成的，如图3-29所示，因此，在机件的表面就会产生一些交线。基本体表面的交线分为截交线和相贯线。

图3-29 基本体表面交线

3.4.1 截交线

平面与立体相交形成的表面交线，称为截交线。截切立体的平面称为截平面。截交线具有以下性质:

(1)共有性:截交线是截平面与基本体表面的共有线，截交线上的点是截平面与立体表面的共有点。

(2)封闭性:截交线是封闭的平面图形。

根据截交线的性质，求截交线的投影，就是求出截平面与立体表面的全部共有点的投影，然后依次光滑连线，即为截交线的投影。

1.平面立体的截交线

平面立体的截交线是一个封闭的平面多边形，如图3-30(a)所示。此多边形的顶点就是截平面与平面立体的棱线的交点，多边形的每一条边是截平面与平面立体各棱面的交线。所以求平面立体截交线的投影，实质上就是求截平面与平面立体棱线交点的投影。

图3-30 棱锥被平面切割

例3-12 求作图3-30(a)所示正四棱锥被正垂面截切后的投影。

在图3-30(a)中，截平面P为正垂面，截交线属于P平面，所以它的正面投影有积聚性。因此，只需要作出截交线的水平投影和侧面投影，其投影为边数相等且不反映实形的多边形。

作图步骤:

(1)画出正四棱锥的投影图，如图3-30(b)所示。

(2)利用截平面的积聚性投影，找出截平面与各棱线交点的正面投影1′、2′、3′、(4′)，如图3-30(c)所示。

(3)根据属于直线的点的投影特性，求出各交点的水平投影1、2、3、4以及侧面投影1″、2″、3″、4″，如图3-30(c)所示。

(4)依次连接各交点的同面投影，即为截交线的投影。判断可见性，整理、描深，如图3-30(d)所示。

例3.13 完成图3-31(a)所示的四棱台被截切后的三面投影。

图3-31 棱锥的切割体画图步骤

(a)已知条件；(b)宽相等求顶面的俯视图；(c)三等求左右台面的俯视图；(d)三等求左视图，检查并描深三视图

由图3-31(a)可知，该立体为四棱台被P、Q两个平面截切(左右对称)。P面平行于底面(P面和底面均平行于H面)，所以，P面截切立体后形成的截交线的水平投影反映实形，并与底面的水平投影平行。Q面平行于侧立投影面，故Q平面截切立体后形成的截交线的侧面投影反映实形。

作图步骤:如图3-31(b)～图3-31(d)所示。

常见的切口几何体及其三视图见表3-1。

表3-1 棱柱的截交线

续表

预习回转体截交线

2.回转体的截交线

回转体的截交线形状取决于回转面的形状和截平面与回转体轴线的相对位置，一般为一条封闭的平面曲线，也可能是由曲线和直线组成的平面图形，特殊情况下为多边形。

作图时，先分析截平面与回转体轴线的相对位置，以及它们在投影面体系中的位置，从而明确截交线的形状及其每个投影的特点，然后采用适当的方法作图。当截交线的投影为直线时，则找出两个端点连成线段；当截交线的投影为圆或圆弧时，则找出圆心和半径画出；当截交线投影为非圆曲线时，则求出一系列共有点，通常先作出特殊位置点，如最高、最低、最前、最后、最左、最右的点，然后按需要再作出一些一般点，最后用光滑曲线把各点的同面投影依次连接起来。

(1)圆柱的截交线。截平面与圆柱轴线位置不同，其截交线有三种形状，分别是矩形、圆、椭圆，见表3-2。

表3-2 圆柱截交线的三种情况

根据截交线是截平面和圆柱表面共有线这一性质，作截交线的投影时，可以利用圆柱面上取点和取线的方法作图。当圆柱的截交线为矩形和圆时，其投影可以利用平面投影的积聚性求得，作图十分简便，读者自行分析。下面介绍圆柱截交线为椭圆时，其投影作图方法。

例3.14 如图3-32所示，求圆柱被正垂面截切后的三面投影。

图3-32 圆柱截交线的作图步骤

由图3-32(a)可知截平面与圆柱轴线倾斜，截交线为一椭圆，该椭圆的正面投影积聚为与X轴倾斜的直线，水平投影积聚为圆，所以仅需要求出其侧面投影。

作图步骤:

①求作截交线上特殊点的投影。首先画出圆柱的原始投影，如图3-32(b)所示。截交线的特殊点是立体上的最高、最低点，最前、最后点，也是椭圆长、短轴上的四个端点。这四点的正面投影为1′、2′、3′、(4)′，水平投影为1、2、3、4，根据投影对应关系求得其侧面投影1″、2″、3″、4″。

②求作截交线上一般点的投影。为了较准确地作出椭圆，还必须适当作出一些一般点的投影。在水平投影的圆上取对称点5、6、7、8，按投影对应关系求出其正面和侧面投影，如图3-32(c)所示。一般点应该选择多少个，要根据作图需要来确定。

③连线。依次光滑地连接各点，即得所求截交线的投影。擦去多余的图线并描深，完成截断体的投影，如图3-32(d)所示。

例3.15 画出如图3-33所示的被截切圆柱的三面投影。

图3-33 多个平面截切圆柱的三面投影的画法

该圆柱的左端切口是用前后两个平行于轴线对称的正平面及一个垂直于轴线的侧平面截切而成。右端切口是由上下两个对称的平行于轴线的水平面和两个垂直于轴线的侧平面截切而成。由于截切面均为投影面平行面，其截交线分别垂直于相应的投影面，因此，圆柱左右切口的投影均可用积聚性法求出。

作图步骤:

①画出圆柱完整的三视图，求圆柱的左端正面投影，如图3-33(b)所示。

②按平面的投影特征，画出右端切口水平投影，如图3-33(c)所示。

③擦去截掉的多余线，整理、描深完成全图，如图3-33(d)所示。

常见带切口、开槽、穿孔、空心圆柱的三面投影，如图3-34所示。

图3-34 常见带切口、开槽、穿孔、空心圆柱的三面投影

(2)圆锥的截交线。截平面与圆锥轴线位置不同，其截交线有五种不同的形状，即圆、过锥顶的三角形、椭圆、抛物线和双曲线，见表3-3。求截交线时，首先利用截平面的积聚性，求得截交线的一面投影，再根据圆锥面上取点的方法求出截交线的其他投影。

表3-3 圆锥表面截交线

当圆锥的截交线为直线和圆时，求截交线的作图方法十分简单。当截交线为椭圆、抛物线、双曲线时，由于圆锥面的三个投影都没有积聚性，故求出属于截交线的多个点的投影时则需要用辅助素线法或者辅助平面法，如图3-35所示。

①辅助素线法。属于截交线的任意点M，如图3-35(b)所示，可以看成是圆锥表面某一素线SA与截平面P的交点，故点M的三面投影分别在该素线的同面投影上。

②辅助平面法。作垂直于圆锥轴线的辅助平面R，如图3-35(c)所示，辅助平面R与圆锥面的交线是圆，此圆与截平面交得的两点C、D就是截交线上的点，这两个点具有三面共点的特征，所以辅助平面法也叫三面共点法。(www.xing528.com)

图3-35 求圆锥表面截交线方法

例3.16 求图3-36(a)所示圆锥的截交线的投影。

由图3-36(a)可知，圆锥被与轴线倾斜的平面P截切，截交线为椭圆。由于截平面为正垂面，截交线在截平面上，其正面投影积聚成直线，水平投影和侧面投影为椭圆。

作图步骤:

①求截交线上特殊点的投影。先画出圆锥的原始投影，确定截平面正投影的位置后，找出截交线的最左点E、最右点A、最前素线上点B和最后素线上点H的正面投影e′、a′、b′、(h)′，利用圆锥表面点的求法，求出它们的水平投影e、a、b、h，以及侧面投影e″、a″、b″、h″，如图3-36(b)所示。

②求截交线上一般点的投影。在正面投影中作水平线与截平面的正面投影交于d′、f′，用辅助圆法求出水平投影d、f和侧面投影d″、f″。同理求出c′、g′、c、g、和c″、g″。为使曲线连接光滑，可利用同样的方法，再继续求出一些一般点的投影。

③连线。将水平面投影a、b、c、d、e、f、g、h、a，侧面投影a″、b″、c″、d″、e″、f″、g″、h″、a″依次光滑连接成曲线，即为所求截交线的水平投影和侧面投影，描深、整理后如图3-36(d)所示。

图3-36 圆锥截交线作图过程

(3)圆球的截交线。平面截切圆球时，在任何情况下其截交线都是一个圆。在三投影面体系中，当截平面平行于一个投影面时，其截交线圆在该投影面的投影反映实形，其余的两面投影都有积聚性。图3-37所示为用水平面和侧平面截切圆球时的投影。画图时，先画出截交线积聚成直线的投影，然后画出反映圆的投影。当截平面垂直于一个投影面而倾斜于其他两个投影面时，则截交线的该面投影积聚成直线，其他两面投影为椭圆，这里不再讲述。

图3-37 圆球表面截交线

例3.17 画出如图3-38(a)所示开槽半球的三视图。

由图3-38(a)可知，半球被两个对称的侧平面和一个水平面截切，所以两个侧平面与球面的截交线各为一段平行于侧平面的圆弧，而水平面与圆球的截交线为两段水平的圆弧。

作图步骤:

①画出半球的三视图，如图3-38(a)所示。

②按各截平面的投影特征，求出截平面的侧面投影和水平投影，如图3-38(b)及图3-38(c)所示。

③擦去多余的图线，整理、描深完成，如图3-38(d)所示。

图3-38 圆球表面截交线求法

3.4.2 相贯线

相贯线

1.相贯线的形成

很多零件都是由两个或两个以上的基本体相交而成，称为相贯。在它们表面相交处会产生交线，称为相贯线。相贯有三种情况:平面立体与平面立体相贯，如图3-39(a)所示；平面立体与曲面立体相贯，如图3-39(b)所示；曲面立体与曲面立体相贯，如图3-39(c)和图3-39(d)所示。平面立体与平面立体或曲面立体相贯，表面交线是由平面图形的截交线围成，可以用求截交线的方法求出，这里不再讲述。本节只介绍曲面立体与曲面立体相贯求相贯线的方法。

图3-39 两立体相贯

2.相贯线的性质

(1)封闭性:相贯线一般为闭合的空间曲线，特殊情况下是封闭的平面曲线或直线。

(2)共有性:相贯线是相交两基本体表面的共有线，也是两立体表面的分界线。

3.求相贯线的方法和步骤

由于两相交物体的形状、大小和相对位置的不同，相贯线的形状也不同，求其投影的作图方法也不相同。在一般情况下，当相贯线为封闭的空间曲线时，求相贯线常用的方法是利用积聚性法和辅助平面法；在特殊情况下，当相贯线为封闭的平面曲线时，相贯线可由投影作图直接得出。

(1)利用积聚性求相贯线的投影。相贯线是相交两基本体表面的共有线，它既属于一个基本体的表面，又属于另一个基本体的表面。如果基本体的投影有积聚性，则相贯线的投影一定积聚于该基本体有积聚性的投影上。

例3.18 如图3-40所示，已知相交两圆柱直径不等，且轴线垂直相交，求作其相贯线的投影。

图3-40 两圆柱相贯

如图3-41所示，两圆柱的轴线垂直相交，相贯线的水平投影与小圆柱的水平投影重合，侧面投影与大圆柱的侧面投影重合。两圆柱面的正面投影都没有积聚性，故只需求出相贯线的正面投影。

作图步骤:

①求特殊点的正面投影1′、3′、5′、7′，由于点Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ、Ⅶ均在特殊素线上，可直接求出它们的水平投影1、3、5、7和侧面投影1″、3″、5″、7″，如图3-41(b)所示。

②求一般点的投影。在小圆柱面的水平投影中取2、4、6、8四点，作出其侧面投影2″、(4″)、(6″)、8″，再求出正面投影2′、4′、(6′)、(8′)，如图3-41(c)所示。

③将所求各点按分析出的对称性、可见性依次光滑连线，描深，即得相贯线的正面投影，如图3-41(d)所示。

图3-41 求两圆柱相贯线的作图过程

由于轴线正交的两圆柱直径相同或不同，故在两圆柱轴线共同平行的投影面上，其相贯线的投影形状和弯曲趋向有所不同，见表3-4。

表3-4 轴线相交两圆柱表面交线的投影特点

直径相等的两圆柱相贯，相贯线是平面椭圆，当椭圆是投影面的垂直面时，投影如图3-42所示。两曲面立体同轴时，相贯线为垂直于轴线的平面圆，如图3-43所示。

图3-42 直径相等圆柱的相贯线

图3-43 两曲面立体同轴相贯

(2)利用辅助平面法求相贯线的投影。用一个辅助平面同时切割两相交的立体，则可得到两组截交线，两组截交线的交点即为相贯线上的点，如图3-44中矩形与圆的四个交点。这种求相贯线投影的方法，称为辅助平面法。

图3-44 辅助平面法作图原理

例3.19 已知圆柱与圆锥相交，用辅助平面法求相贯线的投影，如图3-45所示。

由图3-45(a)可知，圆锥轴线为铅垂线，圆柱轴线为侧垂线，两轴线正交且同时平行于正立投影面，相贯线前后对称，其正面投影重合。圆柱的侧面投影为圆，相贯线的侧面投影积聚在该圆上，所以只需求出相贯线的水平投影和正面投影。

作图步骤:

①求相贯线上特殊点A、B、C、D的投影。如图3-45(a)所示，由侧面投影可知，b″、a″是相贯线上最上、最下点的投影，它们是圆柱和圆锥正面投影外形轮廓线的交点，可直接得到正面投影b′、a′，并由此投影确定水平投影b、(a)。c″、d″是最前、最后点C、D的侧面投影，它们在圆锥最前、最后素线上。过圆柱轴线作水平面P为辅助平面，求出平面P与圆锥面截交线(水平面圆)的水平投影，此圆与圆柱最前、最后素线的水平投影交于c、d，再求出正面投影c′、d′。如图3-45(b)所示，过圆锥顶点作辅助平面Q、S，首先画出QW、SW，分别与圆柱侧面投影相切，切点e″、f″即为相贯线上最右点的侧面投影。过E、F再作一水平面与圆柱、圆锥相交，求得e、f和e′、f′。

图3-45 求圆柱与圆锥相贯线的作图过程

②求一般点G、H的投影。如图3-45(c)所示，作辅助水平面R，先画出RW、RV，求得g″、h″，按辅助平面法求出(g)、(h)和g′、(h′)。

③根据相贯线的可见性、对称性，将所求出的点依次光滑连接，整理、描深，如图3-45(d)所示。

(3)相贯线的简化画法。用上述方法求作相贯线的投影虽然麻烦，但却是求相贯线投影的较精确作图方法。当两圆柱直径相差悬殊时，可以利用如图3-46所示的简化画法画出两圆柱直径不等、轴线正交时相贯线的投影。

图3-46 相贯线的简化画法