直线投影：平行线与垂直线的相关性探讨

直线的投影一般仍为直线。画直线的投影图时，根据“直线的空间位置由线上任意两点决定”的性质，在直线上任取两点，画出它们的投影图后，再将各同面投影连线，即得到直线的三面投影，如图2-18所示。

图2-18 直线的投影

在三面投影体系中，由于空间的直线相对于三投影面位置不同，故它们的三面投影特性也就不同。

2.4.1 各种位置直线的投影

1.一般位置直线

对三个投影面都倾斜的直线称为一般位置直线，如图2-18(a)所示的AB。当直线和投影面斜交时，直线和它在投影面上的投影所成的锐角，叫作直线对投影面的倾角。规定:用α、β、γ分别表示直线对H、V、W面的倾角。直线AB的水平投影ab、正面投影a′b′、侧面投影a″b″均为直线，如图2-18(c)所示。直线AB对H面的倾角为α，故水平投影ab=ABcosα。同理，a′b′=ABcosβ，a″b″=ABcosγ，所以三个投影的长度都小于线段的实长。因此，一般位置直线的投影特性为:三面投影均小于实长，且与投影轴倾斜。反之，若直线的三面投影均与投影轴倾斜，则该直线为一般位置直线。

2.特殊位置直线

(1)投影面平行线。平行于一个投影面而对另外两个投影面倾斜的直线称为投影面平行线。平行于H面的称为水平线，平行于V面的称为正平线，平行于W面的称为侧平线。现以正平线为例，说明投影面平行线的投影特性，如图2-19所示。

投影面平行线

图2-19 正平线的投影特性

由于AB//V面，故a′b′=AB，即正面投影反映实长。YA=YB，则ab//OX，且ab<AB；a″b″//OZ，且a″b″<AB，即水平投影和侧面投影平行于相应的投影轴且小于实长。投影a′b′与OX轴的夹角α等于直线AB对H面的倾角，a′b′与OZ轴的夹角γ等于直线AB对W面的倾角。对水平线和侧平线的投影，学生自己作同样的分析，可得出它们的投影特性，见表2-1。

表2-1 投影面平行线的投影特性

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由表2-1可知，投影面平行线的投影具有如下特性:

①直线在它所平行的投影面上的投影反映实长。

②直线的其他两个投影平行于相应的投影轴且小于实长。

③反映直线实长的投影与投影轴的夹角等于直线对相应投影面的倾角。

反之，若直线的三个投影与投影轴的关系是一斜两平行，则该直线为投影面平行线。

(2)投影面垂直线。垂直于某一投影面的直线，称为投影面垂直线。垂直于H面的直线称为铅垂线，垂直于V面的直线称为正垂线，垂直于W面的直线称为侧垂线。表2-2表示了投影面垂线的投影特性。

投影面垂直线

表2-2 投影面的垂直线投影特性

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由表2-2可知，投影面垂直线的投影有如下特性:

①直线在它所垂直的投影面上的投影积聚成一点。

②直线的其他两面投影反映实长，且垂直于相应的投影轴。

反之，若直线的一个投影是点，则该直线为投影面的垂直线。

2.4.2 直线上点的投影

(1)直线上的点，其各面的投影必在该直线的同面投影上，并且符合点的投影规律。反之，如果点的各面投影均在直线的同面投影上，则该点必在直线上。图2-20中的点C在AB上，c、c′、c″分别在ab、a′b′、a″b″上，且cc′⊥OX，c′c″⊥OZ，ccX=c″cZ。

图2-20 直线上的点

利用上述性质，可以求属于直线的点的投影。如图2-20所示，点C属于直线AB，已知直线AB的三面投影和点C的水平投影c，求点C的正面投影c′和侧面投影c″。

(2)点分割线段之比，等于点的各面投影分割线段的同面投影之比。如图2-20所示，线段AB上的C点分割线段为AC、CB两段，AC∶CB=ac∶cb=a′c′∶c′b′=a″c″∶c″b″(证明从略)。

例2.2 已知C点在线段AB上，又知AB的水平投影ab，C点将AB分为AC∶CB=3∶2，求C点的两面投影。

作图:如图2-21所示。

图2-21 点分割线段成比例

(1)过a任作一辅助线aB0；

(2)在辅助线aB0上以任意单位长度等长截取5个点，C0为第三点，B0为第五分点，则aC0∶C0B0=3∶2；

(3)连接B0b，并过C0作平行于B0b的直线C0c，此直线与ab的交点c即为C点的水平投影；

(4)按点的投影规律，由c向OX轴作垂线，与a′b′交于c′，c′即为C点的正面投影。

2.4.3 两直线的相对位置

空间两直线的相对位置有平行、相交和交叉三种情况，其特性见表2-3。

表2-3 两直线相对位置关系与投影特性

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