点投影规律及其应用

点是最基本的几何要素。要想正确地画出物体的三视图，首先应该从研究点的投影规律入手。

2.3.1 点的投影及标记

点的投影仍然是点，而且在每个投影面上是唯一的，如图2-14(a)所示，将空间点A放在三投影面体系中，自点A分别向三个投影面作垂线，则其垂足a、a′、a″即为点A在H面、V面、W面的投影。

图2-14 点的投影

(a)轴测图；(b)投影面的展开；(c)投影图

关于空间点及其投影的标记，有如下规定:空间点用大写拉丁字母或罗马字母表示，如A、B、C…或Ⅰ、Ⅱ…；水平投影用相应的小写字母表示，如a、b、c…或1、2…；正面投影用相应的小写字母加一撇表示，如a′、b′、c′…或1′、2′…；侧面投影用相应的小写字母加两撇表示，如a″、b″、c″…或1″、2″…。已知空间点的其中两个投影，才可唯一确定空间点的位置。

2.3.2 点的三面投影

画投影图时需要将三个投影面展开到同一个平面上。展开的方法与前面讲述的一样，即V面不动，将水平投影面H和侧立投影面W分别绕OX轴和OZ轴向下和向右旋转90°并与V面重合，如图2-14(a)所示。其中OY轴旋转后出现两个位置，随着H面旋转到OYH的位置，随着W面旋转到OYW的位置。这样就得到了点A的三面投影图，如图2-14(b)所示。去掉投影面边框，便成为图2-14(c)的形式。

点的投影规律

通过点的三面投影图的形成过程，可总结出点的投影规律:

(1)点的正面投影与水平投影的连线垂直于OX轴(aa′⊥OX)，点的正面投影与侧面投影的连线垂直于OZ轴(即a′a″⊥OZ)。

(2)点的投影到投影轴的距离，等于空间点到相应的投影面的距离，即点面距等于影轴距。

a′aX=a″aYW=A点到H面的距离Aa；

aaX=a″aZ=A点到V面的距离Aa′；

aaYH=a′aZ=A点到W面的距离Aa″。

利用点投影规律，根据点的两面投影，便可作出第三面投影。

例2.1 如图2-16所示，已知点A的两面投影a和a′，求作第三面投影a″。

作图:由于a′a″垂直于OZ轴，a″必在过a′且垂直于OZ轴的直线上，作a′a″⊥OZ轴；又由于a″到OZ轴的距离等于a到OX轴的距离，作a″aZ=aaX，便可确定a″的位置，如图2-15(b)、(c)所示。作图时，可以通过45°辅助线作出(图2-15(b))，也可通过画圆弧作出(图2-15(c))。

图2-15 求点的第三面投影

2.3.3 点投影与直角坐标的关系

若将三投影面体系看作空间直角坐标系，则V、H、W面即为坐标面，OX、OY、OZ轴即为坐标轴，O点即为坐标原点。由图2-14(a)可知，A点的三个直角坐标XA、YA、ZA即为A点到三个投影面的距离，A点坐标与A点投影的关系如下:

XA=aaYH=a′aZ=A点到W面的距离Aa″(www.xing528.com)

YA=aaX=a″aZ=A点到V面的距离Aa′

ZA=a′aX=a″aYW=A点到H面的距离Aa

点A(XA，YA，ZA)在三投影面体系中有唯一的一组投影a，a′，a″，且a反映X、Z坐标，a′反映X、Y坐标，a″反映Y、Z坐标。反之，若已知A点的三面投影中的任意两个，即可确定该点的空间坐标。

2.3.4 两点的相对位置

1.两点的相对位置的判断

空间两点相对位置，可在它们的三面投影中反映出来。正面投影反映两点的左右、上下关系；水平投影反映前后、左右关系；侧面投影反映前后、上下关系。两点在投影面上的相对位置，由两点的坐标值来确定。两点的左、右相对位置由X坐标值确定，X坐标值大者在左；两点的前、后相对位置由Y坐标值确定，Y坐标值大者在前；两点的上、下相对位置由Z坐标值确定，Z坐标值大者在上。综合起来判别两点的空间相对位置。

如图2-16所示，要判断点A、B的空间位置关系，可以选定点A(或B)为基准，然后将点B的坐标与点A相比较。

图2-16 两点相互位置

(a)轴测图；(b)投影图

XB<XA，表示点B在点A的右方；

YB<YA，表示点B在点A的后方；

ZB>ZA，表示点B在点A的上方。

故点B在点A的右、后、上方，点A在点B的左、前、下方。

2.重影点

当空间两点位于同一投射线上时，它们在与投射线垂直的投影面上的投影是重合的，此时空间两点叫作相对于该投影面的一对重影点。在投影图中，当两点出现重影时，要判别这两点投影的可见性。

对H面的重影点从上向下观察，Z坐标值大者可见；

对V面的重影点从前向后观察，Y坐标值大者可见；

对W面的重影点从左向右观察，X坐标值大者可见。

如图2-17(a)所示，C、D两点位于垂直V面的投射线上，C、D为对V面的重影点，c′、d′重合，因YC>YD，表示点C位于点D的前方，故c′可见而d′不可见，不可见的投影另加圆括弧表示，如图2-17(b)中的(d′)。同理，可以画出其他投影面上的重影点，E与C、C与F在投影面的投影，这里不再赘述。

图2-17 重影点的投影

(a)轴测图；(b)投影图