金属塑性模型数学原理相关综述

1.率不相关金属塑性概述

一般来说，为了描述金属循环塑性行为，必须给出以下3个条件：

（1）定义屈服条件的屈服函数；

（2）描述塑性应变演化规律的流动法则；

（3）描述后继屈服面的强化准则。

对于金属塑性，通常采用Mises屈服函数和相关流动法则，因此本章也采用上述屈服函数和流动法则，本章主要关注强化准则。金属塑性有两种基本强化准则，即各向同性强化（Isotopic Hardening，IH）和随动强化（Kinematic Hardening，KH）。由于单纯的各向同性强化准则不能描述金属循环加载中出现的包辛格效应，因此大部分的强化准则是随动强化准则或基于二者的结合。由于屈服函数和流动法则是确定的，下面的术语“强化模型”表示具有Mises屈服函数和相关流动法则的强化模型。

各向同性强化通常通过一个标量R引入的，该参数表征了屈服面大小的变化量，随着R的增加，材料的弹性域范围也随着增大。R可表达为等效塑性应变的函数：

式中，为等效塑性应变。

最常用的各向同性强化模型是线性各向同性强化模型，如图3-1所示，其中，R是的线性函数，该函数也可以是非线性函数。

图3-1　线性各向同性强化模型示意图

金属的硬化模型最简单的线性随动强化模型称为Prager模型（Prager，1949），其中随动强化的演化是通过一个背应力变量α来表达的，该参数可表达为塑性应变的线性函数：

式中　C 0——模型参数；

dεP——塑性应变增量。

具有Mises屈服函数的Prager模型可以表示为(www.xing528.com)

式中　f——屈服函数；

S，α——偏应力张量和背应力张量；

σy0——初始屈服强度。

线性随动强化准则在预测材料强化的随动强化分量时通常过于粗糙。一系列常用的材料强化模型都源自（Iwan，1967；Mróz，1967）最初提出的多面模型，该模型利用应力空间中的一系列曲面来描述应力强化的演化。然而，该模型的主要缺点之一是其演化规律过于复杂，难以实际应用。在该模型中，屈服面是其内部最小的曲面，可以在一系列回弹面内移动。当屈服面与后继回弹面接触时，该边界面被定义为激活面。激活面的迁移规则由Mróz规则给出。

在多面模型的框架内，双面模型应用最广泛，已有许多材料强化模型被提出。起初由Dafalias，Popov（1975，1976）和Krieg（1975）分别独立提出了两个双面塑性模型，他们仅利用两个曲面来描述金属材料的非线性行为，即屈服面和回弹面。屈服面用于定义屈服条件，回弹面用于定义应力状态的极限状态。

众所周知，除非在很大的应变下，大多数金属的演化规律不是线性的。在Dafalias，Popov和Krieg提出的两个双面模型中，非线性行为是通过连续变化的塑性模量来描述的。Frederick和Armstrong（2007）提出了另一种描述非线性的方法，将一个松弛项引入到背应力中。通过添加一个称为“动态恢复”的松弛项对线性随动强化准则进行了修改，即

式中　——等效塑性应变增量；

C，γ——模型参数。

只有一个背应力的强化模型通常不能很好地模拟金属的循环塑性行为，随动强化分量在不同应变范围内通常具有不同的演化速率。Chaboche和Dang（1979，1986）通过叠加多个独立背应力的组合而得到了多参数Armstrong-Frederick模型，又称Chaboche模型，这可以很好地描述不同材料在不同应变范围内的非线性塑性行为。含有多个背应力的随动强化准则如式（3-5）所示，它可以更好地描述弹性域-塑性域的转变区。

式中，αi，n分别为第i个背应力以及背应力的个数。

Chaboche模型起初仅考虑材料的随动强化分量，后续又添加了各向同性强化分量。在本章中，仅有随动强化分量的Chaboche模型称为Chaboche随动强化模型，而同时考虑了随动强化和各向同性强化的Chaboche模型称为Chaboche混合强化模型。

对于许多金属材料，如316不锈钢，在应变控制循环加载试验中可发现：首先在较小应变范围内通过多次循环加载使其应力趋于稳定，如果后续再提高加载应变幅值，材料仍会发生后续循环硬化。这种效应称为塑性范围记忆效应（Chaboche and Dang，1979）。Chaboche，Dang首先提出了一种基于塑性应变的状态变量来描述这个现象。Ohno等（Ohno，1982；Ohno and Kachi，1986）通过在塑性应变空间引入一个非强化面，进一步推广了该方法。针对结构钢，Shen等（Shen，et al.，1995；Mamaghani，et al.，1995）提出了一种改进的非强化面双面塑性模型，该模型可以较好描述屈服平台范围内的结构钢循环塑性行为。Yoshida和Uemori（2002）提出了一种不同的方法来考虑这种影响，该方法在应力空间定义了一个非强化面。Yoshida-Uemori模型还采用了与Ohno模型不同的混合强化准则，且其中的各向同性强化分量和随动强化分量是相互耦合的。

2.本章采用的模型

本章选取Prager模型、最常用的Chaboche模型（Chaboche随动强化模型和Chaboche混合强化模型）和新提出的Yoshida-Uemori模型来模拟结构钢的循环塑性。对Yoshida-Uemori模型进行适当改进，通过试验结果与数值结果比较，对改进后的模型进行标定。所有模型的模型参数仅根据拉伸材性试验结果进行标定。各个模型的本构方程将在后序章节中详细介绍。