真实应力-真实应变的定义说明

对于受单轴拉伸的均匀截面材性试件，初始截面面积和长度分别用A 0和l 0表示，当前的截面面积和长度分别为A和l。给定增量长度变化d l，增量应变dε定义为

总应变可由式（2-1）通过积分计算得到：

式（2-2）定义的应变称为真实应变、自然应变或对数应变。

工程应变e的定义如下：

对应的工程应力s的定义为

真实应力可表达为

工程应力和工程应变是根据材性试件未变形的形态来定义的，而真实应力和真实应变的定义考虑了横截面面积的减小。

以上定义的前提是材性试件处于单轴应力状态下，且应力-应变分布均匀。当颈缩开始后，应力状态将由单轴状态变为三轴状态，无法直接通过试验测得单轴真实应力和真实应变。然而，在实际工程及研究过程中，数值模拟不仅要求颈缩前的应力-应变特性，还需要颈缩后的单轴真实应力-真实应变数据。

假设对于任何应力状态，都存在等效的单轴应力状态。那么，我们只需要将三轴应力状态下的应力和应变映射到单轴应力状态。von-Mises等效单轴应力通常适用于金属材料：(www.xing528.com)

式中　σx，σy，σz——相应的正应力分量；

τxy，τyz，τzx——相应的剪应力分量。

类似地，等效单轴应变也可以有如下定义：

式中，

式中　εx，εy，εz——相应的法向应变分量；

γxy，γyz，γzx——相应的剪切应变分量。

在大应变分析中，有许多不同的应变定义，例如，阿尔曼西（Almansi）应变、对数应变、格林（Green）应变，不同的定义给出了不同的应变值。在金属塑性力学中，经常采用对数应变。在ABAQUS等有限元软件中，应变可由变形梯度计算获得，这在文献中有详细介绍（Dunne and Petrinic，2005）。

当颈缩开始后，采用等效应力和等效应变输入真实应力-真实应变数据，即