简单电力系统的暂态稳定分析

如图7-15(a)所示，简单电力系统在正常运行状态时，发电机经过变压器和双回线路向无限大系统送电。如果发电机用暂态电抗x′d表示的电动势E′作其等值电动势，则由图7-15(a)中等值电路可得电动势E′与无限大系统母线之间的电抗为

相应地，发电机发出的电磁功率为

图7-15　简单电力系统及等值电路

(a)正常运行时；(b)短路时；(c)等值电路

如果在一回输电线路始端发生了不对称短路，如图7-15(b)所示，则根据假设，只计算不对称短路时的正序电流分量及正序功率，可在正序网的故障点上接一附加电抗构成正序增广网络。此时，发电机E′与无限大系统之间联系电抗由网络变换(星形网络变换为三角形网络)得到，即

式中，xΔ——附加电抗。

相应地，发电机输出电磁功率为

短路故障发生后，线路的继电保护装置将迅速断开故障线路两端的断路器，如图7-14(c)所示。此时发电机E′与无限大系统之间的电抗为

发电机输出的电磁功率为

一般情况下，以上三种运行方式下的电抗之间有如下关系

则相应三种运行方式下，发电机输出的电磁功率之间的关系为

下面分析系统受到大干扰后发电机转子的运动情况。

图7-16为发电机在系统正常运行、故障和故障切除后三种运行方式下的功角特性曲线。当系统处于正常运行状态时，发电机向无限大系统输送的有功功率为PE，则原动机输出的机械功率PT＝PE。假设不计故障后几秒内调速器的作用，即认为机械功率始终保持为PE。图7-16中，a点为正常运行时发电机的运行点，对应功角为δa。在发生短路故障时，功角特性曲线从PⅠ立即降为PⅡ，由于惯性，转子角度不会立即变化，即其相对于无限大系统的角度δa保持不变。此时，运行点将由PⅠ曲线上的a点跃变为PⅡ曲线上的b点，即输入机械功率大于输出电磁功率，转轴上出现过剩转矩。故障情况愈严重，PⅡ曲线幅值愈低(三相短路时为零)，过剩功率愈大。在过剩转矩的作用下转子将加速，其相对速度(相对于同步转速)和功角δ逐渐增大，运行点从b向c运动。如果故障永久存在，则过剩转矩始终存在，发电机将不断加速，最终与无限大系统失去同步。

图7-16　简单系统正常运行、故障和故障切除后的功角特性曲线

在实际运行中，短路后继电保护装置将迅速动作切除故障。假设运行到c点时，继电保护装置动作，断路器断开，故障线路被切除，发电机的功角特性曲线由PⅡ变为PⅢ，运行点将从c点跃变至PⅢ上的e点(功角δ不能突变)。这时，发电机发出的电磁功率大于原动机输入的机械功率，转轴上出现转矩缺额，转子速度逐渐减慢。但由于此时转子转速高于同步转速，功角δ将继续增大。假设运行点沿着PⅢ曲线上的e点运行到f点时转速恢复到同步转速，此时功角δ不再增大。但在f点，转轴上的原动机机械功率小于发电机输出的电磁功率，使转子减速，运行点将沿着PⅢ曲线从f点向e、k点运动，在到达k点前转子一直减速，转子速度低于同步速度，功角δ减小。到达k点后，作用在转轴上的功率达到平衡。由于转子转速低于同步转速，功角δ将继续减小，但越过k点之后，机械功率PT大于电磁功率PE，转子被加速，因此δ一直减小，直到转子转速恢复到同步转速后又开始增加。此后，运行点沿着PⅢ开始第二次振荡。如果振荡过程中没有能量损耗，则第二次δ又增加至f点所对应的功角δm，之后就一直沿着PⅢ来回摆动。实际上，由于有阻尼作用，振荡将会衰减，最后运行点将稳定在k点。振荡过程如图7-17所示。

假如故障线路切除得比较晚，如图7-18所示，即在故障线路切除前转子加速已经比较严重，因此当故障线路切除后，在到达图7-16中相对应的f点时，转子转速仍大于同步转速，甚至在到达h点时还未降至同步转速，因此δ就将越过h点所对应的δh。一旦运行点越过h点之后，转子就会立即承受加速转矩，转速开始升高，且加速度越来越大，功角δ进一步增大，最终发电机与系统间将失去同步，这种情况如图7-19所示。

图7-17　振荡过程

图7-18　故障切除时间过晚情况

由以上分析可见，线路故障切除的快慢对系统的暂态稳定有较大的影响。因此，快速切除线路故障是提高系统暂态稳定的有效措施。为了确切判断系统在某一公式下，受到大干扰后能否保持暂态稳定，必须通过定量的分析计算。下面介绍分析计算方法。

1.等面积定则

从电力系统暂态稳定性分析中可知，故障发生后，从初始角δa到故障切除瞬间所对应的功角δc的过程中，如图7-19所示，当原动机输入的机械功率PT大于发电机输出的电磁功率PⅡ时，在过剩功率(当转速变化不大时近似等于过剩转矩)的作用下，发电机转子加速。我们可以验证，过剩转矩对相对角位移所做的功等于转子在相对运动中动能的增加。其具体的验证过程如下：

图7-19　失步过程

故障后转子运动方程为

因为

代入式(7-36)得

将式(7-37)两边积分得

整理得

式中，——角度为δc时转子的相对角速度；

——角度为δa时转子的相对角速度，总和为零。

式(7-38)中左端表示转子在相对运动中动能的增加，右端为过剩转矩对相对角位移所做的功。且右端是图7-18中abcd所包围的面积，称为加速面积，用Sabcd表示。

同理，故障切除后转子在制动过程中动能的减少就等于制动转矩所做的功，即

式中，——减速过程中任意角度δ的相对角速度。

由图7-18可知，当δ等于δm时，角速度恢复到同步角速度，即δm＝0。因此，式(7-39)可写为

上式左端代表转子减速到δm时动能的减少，右端代表制动转矩所做的功，对应于图7-18中defg包围的面积，称为减速面积，用Sdefg表示。通过比较式(7-38)和式(7-40)可知，转子在减速过程中动能的减小正好等于加速时动能的增加，即

式(7-41)即为等面积定则。它表明：一个暂态稳定的系统，发电机转子在加速过程中所获得的动能必须在减速过程中全部释放完，转子转速才能恢复到同步速度，或者说，功角才不会继续增大，而且有减小的趋势。因此，加速面积与减速面积相等是保持暂态稳定性的条件。

利用上述等面积定则，可以确定极限切除角度，即最大可能的δc。按前面的分析，为了保证系统稳定，必须在到达h点以前使转子恢复同步速度。极限的情况是正好在h点时转子恢复同步速度，这时的切除角度称为极限切除角度δjq。根据等面积定则可得(www.xing528.com)

在极限切除角时切除故障线路，利用了最大可能减速面积。如果切除角大于极限切除角，就会使加速面积大于减速面积，暂态过程中运行点会越过h点从而使系统失去同步。相反，如果切除角小于极限切除角，则系统总是稳定的。

等面积定则只限于分析简单系统的暂态稳定性，即当功角特性可在平面坐标上表示时，才可以用等面积定则确定极限切除角。

2.发电机转子运动方程的数值解法

根据等面积定则，可以求得极限切除角，但问题并没有真正得到解决。因为在实践中需要知道：为了保持电力系统的暂态稳定性，应在多长时间内切除短路故障，即极限切除角对应的极限切除时间。这就需要求出故障开始到故障切除这段时间内δ随时间的变化曲线，曲线上对应于极限切除角的时间即为极限切除时间。通过求解发电机转子运动方程可得δ－t和ω－t的关系曲线，其中相对角δ随时间的变化规律，即δ＝f(t)曲线，称作摇摆曲线。

发电机转子运动方程是非线性的常微分方程，一般情况下不能得到其解析解，只能用数值计算方法求其近似解。电力系统暂态稳定常用的计算方法有分段计算法和改进欧拉法，下面分别加以介绍。

1)分段计算法

分段计算法是一种手工计算方法，通过把转子运动过程分解成一系列小的时间段，根据前一时段计算所得结果作为本时段计算的初始条件，从而推算出本时间段的状态变量变化结果。这种方法的优点是步骤简单，概念分明；缺点是精度较差。

在计算中，δ通常用度数表示，另外将ω转换成Δω(与同步角速度之差)，则转子运动方程为

用分段计算法求解时需要做以下假设：

(1)一个时间段的中点至下一个时间段的中点的不平衡功率ΔP保持不变，并等于下一时间段开始的不平衡功率，如图7-20(a)所示。

(2)每个时间段内的相对角速度Δω保持不变并等于该时间段中点的相对角速度，如图7-20(b)所示。

显然，这种计算方法是“以直代曲，以不变代替变化”，计算中存在误差，当选择足够小的时间段时，这种误差相对减小，通常取Δt＝0.05 s。当能预料到同步振荡的振幅不大时，可取Δt＝0.1 s；要求精度较高的场合，取Δt＝0.02 s。

应用分段计算法计算δ－t曲线的步骤如下：

(1)选取Δt，求常数K＝360f0Δt 2/Tj；

(2)在第一时段，在发生故障的起始瞬间或故障切除瞬间，由于运动点的跃变，过剩功率也有跃变，应用分段计算法时，应在功率跃变瞬间进行处理，即应当用跃变前后两个过剩功率的平均值，如图7-20(d)所示，这时平均值为

图7-20　分段计算法示意

(a)ΔP分段；(b)Δω分段；(c)δ分段；(d)功率跃变

第一时段末的功角

(3)在第二时段后，如果此时为故障后方式(Ⅱ)，则过剩功率ΔP(k－1)为

如果已经计算到故障切除时间，那么在故障切除的瞬间，运行点由c点跃变到e点，过剩功率分别为

故障切除后，求过剩功率时，应将PⅡ改为PⅢ，重复第(3)步，直至计算到要求的时间结束。

2)改进欧拉法

改进欧拉法是一种常微分方程初值问题的数值解法，适用于计算机计算。在简单电力系统暂态稳定计算中经常采用这种计算方法。

电力系统暂态稳定计算时，给定了大扰动时刻的初值，可由转子运动方程求解δ－t曲线。分析中应用的微分方程式为

求解上式时，从已知的初值(t＝0，x＝x0)开始，离散地逐点求出对应于时间t0，t1，…，tn的函数x的近似值x0x1，…，xn。取步长h＝t1－t0＝t2－t1＝…＝tn－tn－1，改进欧拉法的预估-校正方程为

上式中第一个方程为预估方程，第二个方程为校正方程，第三个方程为初始条件。

改进欧拉法的计算步骤如下。

(1)当第n时间段结束时，可知对应于该时间段末的状态δn、ωn和该时间段末的电磁功率Pn和不平衡功率ΔPn。

(2)第(n＋1)时段开始时，δ和ω的变化率为第n时段结束时的变化率，即

(3)第(n＋1)时段末δ和ω的预估值

(4)第(n＋1)时段末对应于δ和ω预估值的变化率为

(5)第(n＋1)时段中δ和ω的平均变化率为

(6)第(n＋1)时段末，δ、ω、P及ΔP的校正值为

对于一个受大扰动的电力系统，故障的切除时间不同，系统的稳定状态也不同。因此，在使用改进欧拉法求解δ－t和ω－t曲线时，要进行多次计算，才能求出其故障切除时间。