牛顿-拉夫逊法优化技巧

由于功率方程是非线性方程，故电力网潮流计算必须求解一组非线性方程组。牛顿-拉夫逊法是常用的解非线性方程组的方法，也是电力网潮流计算的一种有效方法。设单变量非线性方程为

x为满足该方程的真解，x(0)是该方程的初始近似解，称为初值。

令Δx＝x－x(0)，称Δx为修正量。已知初值x(0)，如果求出Δx，那么就得到了方程的真解x，即

非线性方程可以表示为

将f(x)在x(0)处展开成泰勒级数，即

当选择的初值x(0)非常接近真解x，即Δx很小时，就可忽略式(3-47)中二次及以上的各项，将方程简化为

称式(3-48)为修正方程，并由此得到

由于忽略了高次项，此时求得的修正量Δx(0)，并不是真正的修正量Δx，因而得到的也并非真解x，而是逼近x的x(0)＋Δx(0)，称为一次近似解x(1)，即x(1)＝x(0)＋Δx(0)

以x(1)作为新的初值代入修正方程，求得新的修正量为

可以得到更加通近x的x(2)＝x(1)＋Δx(1)，x(2)为二次近似解。

不断重复上述步骤，至第k＋1次迭代时，求得Δx(k)→0，有f(x(k＋1))→0，因此x(k＋1)是非线性方程的解。

给定任意小数ε，称为非线性方程的收敛标准，当方程的近似修正量满足

或

也就是x(k＋1)已满足收敛标准时，即可用近似解x(k＋1)作为真解。

牛顿-拉夫逊法的几何解释如图3-12所示，图中曲线为非线性函数y＝f(x)，它与x轴的交点就是方程f(x)＝0的解。f′(x)为f(x)函数在x点的切线，牛顿-拉夫逊法就是用切线逐渐向真实解逼近的方法。

图3-12　牛顿-拉夫逊法的几何解释

(a)初值选择适当；(b)初值选择不当(www.xing528.com)

采用牛顿-拉夫逊法时，对初始值x(0)有较高的要求，若x(0)选择不当，则很可能得不到真解，如图3-12(b)所示。

牛顿-拉夫逊法的核心是将非线性方程的求解转换成相应线性修正方程并多次迭代求解。

例3-3 利用牛顿-拉夫逊法计算非线性方程x 2－8x＋7＝0的解。

解：①设初始解x(0)＝3，方程为

同理

四次迭代解已经很接近真解x＝1。

②设初始解x(0)＝4，方程为

此时无法进行迭代求解。

牛顿-拉夫逊法不仅可用于求解单变量非线性方程，还可以推广用于多变量非线性方程组求解。

设有非线性方程组

将上面几个方程组按泰勒级数展开并忽略高次项，则有

这是一组以修正量Δx1，Δx2，…，Δxn为变量的线性化的方程组，称为修正方程组，可写成矩阵的形式，即

解出修正量Δx1，Δx2，…，Δxn，用它们修正初始值，得到一次近似解，即

第k＋1次迭代求出解，即

修正方程简写为

J称为多维列向量F的雅可比矩库，为n×n阶。ΔX由修正量Δx1，Δx2，…，Δxn组成的列向量。在第k＋1次迭代后，用收敛标准检查是否满足以下要求