连续方法和纳米尺度方法的融合

通过对原始自由度进行逐次消元，连续和纳米尺度方法在它们各自具体的应用场合中都得到了良好的应用。当波动性不明显而仍有必要考虑原子分辨率时，分子动力学比全密度泛函理论计算方法有许多计算上的优势。连续方程以连续场的形式为系统的粗晶演化过程提供了一种简化的描述。微米/纳米电子学的脱层问题本质上是一个多尺度问题。从分子级别考虑一个界面，有三个主要原因影响该界面的强度：①化学相互作用；②物理相互作用；③力学联锁。化学相互作用指的是强烈的相互作用力，比如在界面上形成的共价键和金属键。物理相互作用指的是较弱的相互作用力，比如范德华力和氢键。力学联锁则是由于材料表面粗糙度引起的材料间互锁。化学和物理相互作用涉及原子结构和相互作用距离接近1～10nm的键合特性。分子动力学可以模拟这两种相互作用，但是因为粗糙度的几何尺度约在10～100nm之间，且计算时间的限制，分子动力学在处理这种粗糙度问题时效率低下。因此，就需要一种结合分子动力学和有限元方法的多尺度建模方法。

多尺度建模（Multiscale Modeling）的基本原则，是把每个尺度的信息以某种方式系统地整合为一体，从而超过每一个单一尺度的描述。要达到这个目的，有两个基本的方法：全体-局部方法和混合方法。在全体-局部方法^[59]中，从一个特定长度和时间尺度上计算得到的信息被输入到一个更粗糙的模型里。如圣维南定律所言，这个方法假设需要研究的现象可以分解为在不同长度和时间尺度上的多个步骤来处理。混合多尺度建模^[60，61]，把这些各不相同的尺度都整合在一个单一的混合模式下，且同时考虑了原子级计算和连续计算。其主要的理论挑战是，以某种形式融合这两种完全不同的描述并避免异质性导致的任何寄生效应。因此，这种方法非常适用于对断裂现象进行模拟。这是因为断裂现象中原子尺度的相互作用与宏观应力间复杂反馈已经将原子级尺度描述和宏观尺度描述结合在一起。

有限元（FEM）方法和分子动力学（MD）方法的结合主要面临以下3个挑战：

1）模拟是在温度条件限制下进行的。许多上文所描述的方法的温度都是限制在零度的，而且这些方法所涉及的基本量是Hamiltonian函数，该函数能以合适的自由度来描述原子级系统。原则上，Hamiltonian函数方法能通过自由能来描述温度限制条件下原子级系统的平衡状态，但是系统的非平衡状态与平衡状态有本质不同，而且一般的方法都无法将其描述清楚。此外，对原子级系统施加外部载荷（外部能量），会改变该系统的温度（能量级），这可能会影响该系统的势函数，尤其系统中分子的具体温度，而这会改变该系统中分子的物理状态。

2）分子动力学能描述的时间尺度。经典分子动力学模拟和量子分子动力学模拟所涉及的时间步长非常小，因此对原子级系统进行宏观时间尺度的模拟仍然存在瓶颈。在某些应用中可以回避这个问题，但对一些特定场合，可以采用加速策略来解决这个问题。一个通用的加速方法可能会蕴含横跨众多学科的革命性启示。理论上，在允许缺乏一定精确度的情况下，两种方法能解决上述瓶颈问题。一种方法是采用更快的加载速度对系统进行加载，通常这个加载速度比真实加载速度快100～10000倍，这能降低总的模拟量。但是与真实加载速度相比，这种加载速度下应力/应变波的传播状况会大不相同。另外的方法是采用更重的原子团代替系统中的独立原子。这种成簇的原子团一般包含10～1000个原子，而且假设这些原子团是刚体或均匀的形变体。但是，采用该方法得不到成簇原子团内部的力学信息。(www.xing528.com)

3）波的传播穿过原子/连续界面。对于研究原子级区域和（有限元）连续区域间具体界面的有关方法，连续区域必须能容纳发源于分子（原子）区域的高频响应。例如，一种综合分子动力学和有限元的方法采用分子动力学来对临界区域建模，而采用有限元方法对其余部分进行建模。为了有效减少计算时间，有限元区域的网格密度要比分子动力学区域更稀疏。但是，连续区域的网格单元不能处理原子区域发出的小波长。因此，原子区域产生的高频率响应会反弹回原子区域，这会导致虚假的结果或临界区域。

为了解释两种方法的结合，图4.28概述了几种建模方法及其适用的尺度范围。

图4.28 连续方法和纳米尺度方法的结合