不确定性与优化模拟的探讨

现已证明，对各种电子产品的虚拟原型制作和制造工艺进行基于模拟的优化，是设计初期阶段工艺特性描述和产品开发的一种有效方法^[7]。

纳米制造和纳米封装设计本身是一项极为复杂的工程任务。纳米结构的复杂性常导致实际的原型制作和测试十分困难或过于昂贵。因此，在设计的初期阶段，非常有必要采用数值仿真方法来模拟系统的物理性能，并采用相关技术对系统的风险和可靠性进行量化和优化。确定性和随机仿真方法能帮助管理和减轻设计失效的相关风险，因而正成为现代设计中很有价值的工具。

计算机优化技术可以帮助确定最佳的设计/工艺规范，协助制定能实现纳米结构性能和可靠性最优化的设计原则。然而，从确定性的角度来说，实际上这些封装或工艺优化设计，与安全可靠的设计方案相去甚远。其原因是纳米电子工艺各方面固有的不确定性，即纳米结构的制造工艺参数和/或运行工艺参数（如运行温度、湿度等）、尺寸公差、材料的物理特性等都会自然地变化。

可采取几种不同的概念和方法对不确定性进行建模和量化，目前最流行的是采用概率理论。其主要优势在于其能够利用概率分布函数（Probability Distribu-tion Function，PDF）来量化一个设计参数或工艺参数的不确定性。这一重要概念涉及所谓的极限状态函数（失效面）的定义，该函数能将可靠性量化。极限状态是不确定的（随机的）设计、材料或工艺参数x₁，x₂，…，x_n的函数，并为每个参数都分配适当的概率分布函数来描述它们的不确定性。极限状态函数可以表达为

g（x₁，x₂，…，x_n）＝0 （2.1）

失效域由g（x）<0来定义，而失效概率p_f则通过求解下列多维积分计算得到：

式中，f为不确定性输入变量的联合概率分布函数。(www.xing528.com)

抽样法是评估确定性的常用技术。如在蒙特卡罗模拟法中，根据参数概率分布产生随机变量的样本，然后直接利用可靠性函数对样本进行评估和检查，以确定是否产生失效^[8]。样本中失效采样点（其失效通过极限状态函数表征）的比例会接近失效概率。这些方法的缺点是需要对大量的采样点进行评估。如果采用实验或高保真分析，一个单独的评估就可能复杂、昂贵并且耗时。降阶模型可用来克服此缺点。降价模型能对工艺或设计进行快速分析，因此能够对可靠性函数进行快速评估。

另一个计算失效概率的数值方法则利用一阶或二阶泰勒级数对极限状态函数进行逼近。这些方法被称为一阶可靠性方法（First-Order Reliability Method，FORM）和二阶可靠性方法^[9]。

目前，研究人员对有可能克服概率性方法局限性、并以更好的方式处理“主观”不确定性（如对建模过程的缺乏了解）的非概率不确定模型的兴趣不断增加。这类模型包括证据理论^[10]、模糊集合和可能性理论^[11]及基于区间的方法^[12]。

不确定性建模是基于可靠性的优化步骤的关键部分。在一个优化设计的数值框架中集成可靠性评估就产生了一个功能强大、高性价比的设计方法。该方法能处理并满足概率约束。不确定性条件下的一个一般问题可以定义为

式中，F（x）为目标函数（设计人员要提高的设计或工艺的特定方面）；p为与状态极限函数g（x）有关的失效概率的容许极限。

上述的优化问题可以采用多种数值技巧进行求解。有兴趣的读者可以阅读参考文献^[13]来获取该问题最常用数值优化技巧的详细信息。基于可靠性的设计优化方案，能自动便捷地对由矢量x定义的设计空间进行搜索，以确定同时满足目标函数和不确定性（概率性的）要求的最佳参数设置。