奈奎斯特稳定性判据与伯德图分析

系统的对数频率特性和幅相频率特性是相互对应的， 因此奈奎斯特稳定性判据也可以被应用到开环系统的伯德图上。 奈奎斯特稳定性判据需要通过观察开环系统幅相频率特性曲线包围（－1， j0） 点的圈数， 由6.5.2 节可知， 包围的圈数可由正穿越和负穿越（－1， j0）点以左负实轴的次数计算。 因此， 只需找到在幅相频率特性图上发生穿越的点在伯德图上对应的位置即可计算N。

图6－47 所示为某开环系统的幅相频率特性和对数频率特性。 从图中可以看出， 在幅相频率特性图中负实轴上点的幅角均为－180°， 即幅相频率特性图上负实轴对应伯德图上的－180°线。 在幅相频率特性图中， 可以用以原点为圆心的单位圆确定（－1， j0） 点的位置，由于单位圆上点的幅值均为1， 因此单位圆在对数频率特性曲线上对应的是零分贝线， 称图中的4 点对应的频率ωc 为剪切频率， 也称截止频率。

图6－47　某开环系统的幅相频率特性和对数频率特性

这样， 就可以根据对数频率特性图中ω ＜ωc， 即L（ω） ＞0 dB 的区间内， φ（ω） 曲线与－180°线的交点个数计算N。 具体的计算规则如下： 在ω ＜ωc 即L（ω） ＞0 dB 的区间内，φ（ω） 曲线自下而上过－180°线为正穿越， 反之， 若自上而下地过－180°线为负穿越； 若φ（ω） 曲线自下而上地止于或起于－180°线为半次正穿越； 反之， 若自上而下地止于或起于－180°线为半次负穿越。

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试用奈奎斯特稳定性判据判别其闭环系统的稳定性。

解： 利用MATLAB 绘制开环系统的伯德图， 如图6－48 所示。 在本例中， 开环系统中含有一个积分环节， 需要从对数相频特性曲线ω 较小且L（ω） ＞0 dB 的点处向上补作90°的直线。 但由图6－48 可知， 在低频段开环系统的对数幅频特性大于－180°， 因此向上补画的直线不会影响穿越的次数。

图6－48　例6－10 的伯德图

由图6－48 可知， 在ω ＜ωc 的区间内， L（ω） ＞0 dB， 在此区间内， 对数相频特性曲线先自上而下地通过－180°一次， 即负穿越一次； 后自下而上地通过－180°一次， 即正穿越一次， 故N ＝0； 又由于开环传递函数在右半平面没有极点， 即P ＝0， 所以根据奈奎斯特稳定性判据， 有Z ＝P－2N ＝0， 闭环系统是稳定的。