根轨迹绘制的基本法则

本节将给出绘制根轨迹的基本法则及其证明过程， 这十分有助于理解根轨迹的性质、 徒手快速绘制根轨迹草图以及对控制系统进行分析与设计。 在本节中， 假定变化参数为根轨迹增益K， 其变化范围为零到正无穷。 在这样的前提下， 绘制出的根轨迹需满足式（5.12）的辐角条件， 因此被称为180°根轨迹。 当K取负值时， 对应的根轨迹称为0°根轨迹， 在后面的章节中将对0°根轨迹进行详细介绍。

法则1　根轨迹的起点和终点。 根轨迹起于开环极点， 终于开环零点。

法则2　根轨迹的分支数。 根轨迹的分支数等于开环零点数m 与开环极点数n 中的较大者。

证明　根轨迹的一个分支对应于在K∗变化时特征方程某一个根的轨迹， 由式（5.13）可知， 特征方程的阶次为max｛m， n｝， 因此有max｛m， n｝ 个根以及相应的根轨迹。

法则3　根轨迹的对称性。 根轨迹在复平面内是关于实轴对称的。

证明　闭环系统的特征方程是实系数的， 因此特征方程的根只有实根和共轭复根两种情况， 故根轨迹必然对称于实轴。

法则4　根轨迹在实轴上的分布。 对于给定的实轴上的某一区域， 如果该区域右侧实轴上开环零点与开环极点个数之和为奇数， 则该区域是根轨迹所在的区域。

证明　不妨假设系统的开环零、 极点在复平面上的分布如图5－4 所示， 开环零点用空心圆圈表示， 开环极点用叉号表示， s1 是在实轴上任选的一个试探点。

图5－4　某系统的开环零、 极点分布

观察图5－4， 有以下结论。

（1） 对于实轴上的任一试探点， 由一对共轭开环零点或极点到该试探点的向量辐角之和恒为360°， 正如图5－4 所示的θ3 ＋θ4 ＝φ1 ＋φ2 ＝360°。 因此， 对于实轴上的试探点而言，共轭开环零、 极点对辐角条件没有影响。

（2） 对于实轴上的任一试探点， 位于该试探点左侧实轴上的零、 极点到该试探点的向量辐角恒为零， 正如图5－4 所示的θ5 ＝φ3 ＝0。 因此， 位于试探点左侧实轴上的开环零、极点对辐角条件没有影响。

（3） 对于实轴上的任一试探点， 位于该试探点右侧实轴上的零、 极点到该试探点的向量辐角恒为180°， 正如图5－4 所示的θ1 ＝θ2 ＝180°。

假设试探点右侧的实轴上共有A 个开环极点和B 个开环零点， 结合以上结论， 辐角条件变为

显然， 当且仅当A ＋B 为奇数时才能够满足辐角条件。 至此， 法则4 得证。

法则5　根轨迹的渐近线。 对于n－m 条止于无穷远处的根轨迹而言， 当根轨迹增益趋向于无穷大时， 它们沿着n－m 条与之对应的渐近线趋向于无穷远处。 这些渐近线与实轴正方向的夹角为

n－m 条渐近线与实轴交于同一点s ＝σa， σa 由下式决定

证明　渐近线就是当s 很大时的根轨迹， 因此渐近线也一定对称于实轴。 将开环传递函数写成多项式的形式

根据韦达定理， 式中

当s 很大时， 式（5.16） 可近似为

由G（s）H（s） ＝－1 得渐近线方程

当s 很大时， 近似有

将式（5.18） 代入式（5.17）， 渐近线方程可表示为

现在将s ＝σ ＋jω 代入式（5.19）， 得

式中l ＝0， 1， …， n－m－1。 令实部和虚部分别相等， 有

从上述两个方程中解出

式中

式（5.21） 代表的是直线方程， 该直线与实轴正方向夹角为φa， 交实轴于σa。 l 存在n－m个取值， 对应着n－m 条渐近线。 由于式（5.20） 中K∗的符号是确定的（通常为正）， 因此式（5.21） 表示的不完全是一条直线， 真正的渐近线是以s ＝σa 为顶点的一组射线。

【例5－2】　某控制系统的结构图如图5－5 所示， 试绘制出该系统在实轴上的根轨迹以及根轨迹的渐近线。

图5－5　某控制系统的结构图

解： 控制系统的开环极点为p1 ＝0， p2 ＝－4， p3 ＝－2 ＋j4， p4 ＝－2－j4， 将开环极点标于复平面上， 如图5－6 所示。

在实轴上， 区间（－4， 0） 右侧的实轴上开环零、 极点之和为奇数， 因此（－4， 0）是根轨迹所在的区间。

开环传递函数分子多项式阶次为n ＝4， 分母多项式阶次为m ＝0， 因此共有n－m ＝4 条渐进线。 渐近线与实轴正方向的夹角为

当l ＝0 时， φa ＝45°； 当l ＝1 时， φa ＝135°； 当l ＝2 时， φa ＝225°； 当l ＝3 时， φa ＝315°。渐近线与实轴的交点为

根据以上求解过程， 可以将实轴上的根轨迹以及渐近线绘制于复平面上， 如图5－6 所示， 实轴上的粗实线代表根轨迹， 虚线代表渐近线。

当n－m ＝1 时， 根轨迹只有一条180°的渐近线， 它正好与实轴重合， 所以在这样的情况下， 不必再确定根轨迹的渐近线。

法则6　根轨迹的分离点和分离角。 根轨迹的分离点是指两条或两条以上根轨迹分支在s 平面上相遇又立即分开的点， 它对应于闭环系统特征方程的重根。 分离角定义为根轨迹进入分离点的切线方向与离开分离点的切线方向之间的夹角。 图5－7 所示为几种典型的分离点。

图5－6　例5－2 中实轴上的根轨迹及渐近线

图5－7　根轨迹分离点示例

证明　图5－7 （a） 所示的两条实根的根轨迹在实轴上的分离点处相遇， 朝相反的方向分离进入复平面， 这说明当根轨迹增益取得与分离点对应的值时， 闭环系统特征方程存在着一对重实根。 图5－7 （b） 所示为一种相反的情况， 两条共轭复根的根轨迹在实轴上的分离点处相遇， 朝相反的方向分离进入实轴。 分离点处可能包含两条以上的根轨迹。 图5－7（c） 所示的四条根轨迹在分离点处相遇并分开， 该分离点代表着特征方程的四次重根。 此外， 根轨迹的分离点可能不止一个， 所有的分离点也并非都在实轴上。 图5－7 （d） 所示的根轨迹有三个分离点， 在复平面内的两个分离点构成共轭关系， 这是由根轨迹的对称性决定的。

不难发现， 若根轨迹位于实轴上的两个相邻开环极点之间， 那么在这两个开环极点之间至少存在一个分离点。 同样地， 若根轨迹位于实轴上相邻的两个开环零点之间（其中一个可以是无穷远处的零点）， 则两开环零点之间也至少存在一个分离点。 如果根轨迹位于实轴上相邻的开环极点和开环零点之间（可以是无穷远处的零点）， 那么一般而言， 这一对开环零、 极点之间不存在分离点或存在两个分离点。

根据分离点的数学意义， 我们可以对其位置进行精确计算。 将系统的开环传递函数写为

式中， P（s） 和Q（s） 为关于s 的多项式函数， 则闭环系统的特征方程为

即

由复变函数相关知识可知， 若s2 是上述特征方程的二重根， 则应满足以下两式2

一般地， 若sl 是特征方程（5.25） 的l 次重根， 则应满足

然而， 上述条件是分离点的必要而非充分条件。 也就是说， 根轨迹所有的分离点均满足式（5.28）， 而式（5.28） 的解却并非都是根轨迹的分离点。 按照式（5.28） 求得分离点后，应当检验对应的K∗值。 若K∗不为正实数， 则该点不在根轨迹上， 不是分离点。

【例5－3】　若系统的开环传递函数为

试求根轨迹的分离点， 并绘制根轨迹草图。

解：

方法一： 系统闭环方程为

将上式变换为

根据式（5.28）， 分离点应满足式（5.29） 以及

由式（5.30） 可得

将式（5.31） 代入式（5.29）， 整理得

解之， 得

将这两个解代入式（5.31）， 有

因此， 式（5.32） 的两个解均在根轨迹上， 都是分离点。 结合开环零、 极点的具体位置，可以绘制出根轨迹， 如图5－8 所示。

图5－8　例5－3 的根轨迹

由分离点的数学意义出发， 还可以得到计算分离点位置的其他方法。

方法二： 由闭环系统的特征方程（5.25） 得

上式两侧对s 求导， 有

根据式（5.28）， 若s 是特征方程的二重根， 则有

将式（5.34） 代入式（5.26）， 有

再将式（5.35） 代入式（5.33）， 有

故闭环方程的二重根除满足特征方程外， 还应满足式（5.36）。

现在用方法二来计算例5－3 中的分离点。 由特征方程（5.29） 可得

根据方法二， 分离点应满足

即

可解出与方法一同样的结果。

方法三： 分离点的坐标可由如下方程来确定：

式中， pj 为开环极点， zi 为开环零点。 若系统无开环零点， 则将式（5.37） 右侧以零代替。此定理可由方法一和方法二衍生而来， 证明过程从略。

用方法三重新计算例5－3 中的分离点。 系统开环极点为0，－2； 开环零点为－4。 根据方法三， 分离点应当满足如下方程：

上式两侧同时乘以s（s ＋2）（s ＋4）， 整理得

可与方法一、 二解出相同的结果。

前面给出了三种求解分离点的方法， 现在再来介绍分离角的计算方法。 分离角的定义为根轨迹进入分离点的切线方向与离开分离点的切线方向之间的夹角， 其大小为

当l ＝2 时， 根轨迹进入分离点的切线方向必然垂直于其离开分离点的切线方向， 这一点从图5－7 （a）， 图5－7 （b）， 图5－7 （d） 中可以看出。

法则7　根轨迹的起始角和终止角。 根轨迹的起始角或终止角定义为根轨迹在开环极点或开环零点处的切线与实轴正方向的夹角。 根轨迹在单重开环极点pdep处的起始角为

式中， φzi pdep和θpj pdep分别表示由开环零点zi 和开环极点pj 到开环极点pdep的向量辐角。 根轨迹在单重开环零点zarr处的终止角为

式中， θpjzarr和φzizarr 分别表示由开环极点pj 和开环零点zi 到开环零点zarr 的向量辐角。 式（5.39） 和式（5.40） 中， k 为任意整数， 用于使起始角和终止角落在［0°， 360°）。 计算根轨迹的起始角有利于判断从靠近虚轴的极点出发的根轨迹是否会进入右半平面。

证明　切线即为极限位置的割线， 根轨迹的起始角或终止角可理解为， 当根轨迹上一点s 逼近开环极点或开环零点时， 由开环极点或开环零点指向该点的向量辐角。 当s 逼近某开环零、 极点时， 由其他零、 极点指向点s 的向量辐角即为指向s 所逼近的零、 极点的向量辐角， 此时根据辐角条件式（5.12） 不难证明式（5.39） 和式（5.40）。

更一般地， 对于q 重开环极点或q 重开环零点而言， 有q 条根轨迹分支起始或终止于此， 起始角和终止角的计算方法为

以及

【例5－4】　若开环系统的传递函数为

试求根轨迹的起始角和终止角， 并绘制根轨迹草图。

解： 开环传递函数的零、 极点分别为

对于开环实数零、 极点， 其终止角和起始角可根据根轨迹的对称性进行判断， 现计算复数极点p3， p4 处的起始角以及复数零点z2， z3 处的终止角。

在开环极点p3 处， 有

将以上各式代入式（5.39）， 有

由于根轨迹的对称性， 在开环极点p4 处的起始角为θp4 ＝360°－78.48° ＝281.52°。

在开环零点z2 处， 有

由式（5.40） 可知， 根轨迹在开环零点z2 处的终止角为

同样， 由于对称性， 在开环零点z3 处的终止角为φz3 ＝360°－149.68° ＝210.32°。

至此， 可绘制出闭环系统的根轨迹， 如图5－9 所示。

图5－9　例5－4 的根轨迹

法则8　根轨迹与虚轴的交点。 根轨迹与虚轴的交点可根据劳斯判据求得， 也可通过将s ＝jω 代入闭环系统特征方程中求得。

证明　当根轨迹与虚轴相交时， 意味着闭环系统的特征方程在交点处存在纯虚根， 此时系统处于临界稳定状态。 因此， 列写闭环系统特征方程的劳斯表， 并令第一列中包含K∗的项为零， 即可求解出根轨迹与虚轴交点对应的K∗值。 此外， 可根据s 偶次方行的系数构造辅助方程， 从而解出系统在临界稳定时的纯虚根。 若根轨迹与虚轴有两个交点， 则令劳斯表s1 行左端第一项为零以求解K∗值， 并用s2 行的系数构造辅助方程以求解纯虚根； 若根轨迹与虚轴有两个以上的交点， 则应利用劳斯表中幂大于2 的偶次方行的系数构造辅助方程。

另一种方法亦不难理解。 当根轨迹与虚轴相交时， 意味着s ＝jω 是闭环系统特征方程的解， 将s ＝jω 代入特征多项式中， 令其实部和虚部为零， 即可解出ω 和K∗。

【例5－5】　若开环系统传递函数为

求系统的根轨迹与虚轴的交点， 并绘制全部根轨迹草图。

解： 闭环系统的特征方程为

方法一： 列写特征方程式（5.43） 的劳斯表：

若使上式成立， 则左侧实部和虚部均为零， 即

确定了根轨迹与虚轴交点后， 再由之前介绍的法则确定根轨迹在实轴上的分布、 渐近线以及分离点等信息， 从而绘制出图5－10 所示的根轨迹草图。

图5－10　例5－5 的根轨迹草图

法则9　根之和与根之积。 若开环传递函数分子多项式阶次m 与分母多项式阶次n 满足n－m≥2， 则开环系统特征方程极点之和恒等于闭环极点之和， 即(www.xing528.com)

式中， pj 为开环极点； si 为闭环极点。

若开环传递函数在复平面原点处有极点， 则有

式中， zi 为开环零点。

证明　将闭环系统特征方程

改写为

将式（5.48） 的左端展开， 有

同样地， 将式（5.47） 展开， 有

当n－m ≥2 时， 式 （5.50） 右侧sn－1 项的系数与zi 无关， 比较式 （5.49） 右侧与式（5.50） 右侧便可得到式（5.45） 所示的关系。 当开环传递函数在原点处有极点时， 式（5.50） 右侧的常数项与Pj 无关， 因此有式（5.46） 所示的关系。

根之和关系式（5.45） 表明， 当K∗变化时， 闭环极点之和保持不变。 这说明， 当一些根轨迹分支向某个方向移动时， 剩余分支必然向相反方向移动， 这对判断根轨迹的走向十分有利。

根轨迹法的基本任务在于， 根据已知的开环零、 极点分布以及根轨迹增益， 通过图解的方式找出闭环极点。 根据前述九个法则， 基本能够简要绘制出闭环系统的根轨迹图， 绘制180°根轨迹的基本法则见表5－1， 一些常见的根轨迹如图5－11 所示。

表5－1　绘制180°根轨迹的基本法则

续表

图5－11　几种常见的根轨迹

图5－11　几种常见的根轨迹（续）

下面通过一些例题来说明绘制根轨迹的流程。

【例5－6】　若系统开环传递函数为

试绘制闭环系统的根轨迹草图， 并证明根轨迹的复数部分在以开环有限零点为圆心， 以开环有限零点到分离点的距离为半径的圆上。

解： 首先绘制闭环系统的根轨迹。

（1） 计算该系统的开环零、 极点。

并将其标注于复平面上， 如图5－12 （a） 所示。

（2） 确定根轨迹的分支数和渐近线。

由于开环系统的m ＝1， n ＝2， 故闭环系统有两条根轨迹分支。 由于n－m ＝1， 故根轨迹的渐近线与负实轴重合， 不必画出。

（3） 确定实轴上的根轨迹。

对于开环零点z1 ＝－2 左侧的实轴而言， 其右侧实轴上的开环零、 极点个数之和为奇数。 故实轴上z1 ＝－2 以左的部分属于根轨迹， 将其标注于实轴上， 如图5－12 （a） 所示。

（4） 确定分离点。

将闭环系统的特征方程整理为

根据法则6， 分离点除满足式（5.51） 以外， 还应满足

由式（5.52） 得K∗＝－（2s ＋2）， 将其代入式（5.51）， 整理得

解得

由式（5.52） 可计算得到相应的K∗值

s2 对应的K∗值小于零， 故只有s1 为所求的分离点， 将其标于复平面上， 如图5－12 （a）所示。

（5） 求复数极点的起始角。

根据起始角大小以及分离点位置， 可大致判断出根轨迹与虚轴无交点。 综合上面的5 个步骤， 可绘制出图5－12 （b） 所示的根轨迹。

图5－12　例5－6 的根轨迹

下面证明： 图5－12 （b） 中根轨迹的复数部分在以开环零点z1 ＝－2 为圆心、 以z1 ＝－2 到分离点s ＝－3.73 的距离为半径的圆上。

对于题目中给定的系统， 辐角条件为

根据和角公式

可将式（5.53） 变换为

将上式整理为

或

使用MATLAB 软件包可以快速、 准确地绘制出根轨迹图， 求系统根轨迹的函数为rlocus（），其调用格式为：

其中， rlocus（sys）可绘制单输入－单输出负反馈系统sys 的根轨迹图， sys 为开环传递函数； rlocus（sys，k）使用指定的增益向量“k” 绘制系统sys 的根轨迹图； ［r，k］ ＝rlocus（sys）返回闭环极点位置的复数矩阵“r” 及其相应的增益向量“k”， 而不直接绘制根轨迹图。

下面给出例5－6 的MATLAB 程序。

【例5－7】　图5－13 所示为某控制系统的结构图。

（1） 绘制出当开环增益K 变化时的根轨迹草图。

（2） 确定当闭环主导极点具有阻尼比ζ ＝0.5 时的K 值、 相应的等效二阶系统及其动态过程指标。

图5－13　例5－7 的控制系统的结构图

解：

（1） 绘制闭环系统的根轨迹。

系统的开环传递函数为

上式是开环增益形式的传递函数， 将其改写为根轨迹增益形式的传递函数

式中， K∗＝10K。

①确定系统的开环零、 极点。 系统的开环极点为p1 ＝0， p2 ＝－3 ＋j， p3 ＝－3－j， 将其标注于图5－14 （a） 所示的复平面上。

②求根轨迹的分支数和渐近线。 由于开环传递函数m ＝0， n ＝3， 故共有3 条根轨迹分支以及3 条渐近线。 渐近线与实轴正方向的夹角为

当l ＝0 时， 有φa ＝60°； 当l ＝1 时， 有φa ＝180°； 当l ＝2 时， 有φa ＝300°。 根轨迹与实轴的交点为

将渐近线标注于复平面上， 如图5－14 （a） 所示。

③确定实轴上的根轨迹。 对于p1 ＝0 左侧的区间而言， 其右侧的实轴上开环零、 极点个数之和为奇数， 故p1 ＝0 左侧的实轴为根轨迹所在的部分。

④确定分离点。 闭环系统的特征方程为

分离点除满足式（5.56） 之外， 还应当满足

由上式解得

将上述解代入式（5.56）， 有

这说明由式（5.57） 得到的两个解都在根轨迹上， 都是符合要求的分离点。 将其标注于图5－14 （a） 中。

⑤求复数极点的起始角。 对于开环极点p2 ＝－3 ＋j， 有

所以

由根轨迹的对称性， 在开环极点p3 ＝－3－j 处的起始角为360°－288.43° ＝71.57°。 将其标注于图5－14 （a） 中。

⑥求根轨迹与虚轴的交点。 由根轨迹的渐近线可知， 根轨迹必然与虚轴存在交点。 将s ＝jω 代入特征方程式（5.56） 中， 整理得到

令上式实部和虚部分别为零， 有

由式（5. 58） 的第二式可解得ω ＝0 或ω ＝±3.16。 其中， ω ＝±3.16 为所求的解， 将其代入式（5. 58） 的第一式中， 有K∗＝60。 将根轨迹与虚轴的交点标注在图5－14 （a） 的复平面中。

根据以上六步， 可绘制出闭环系统的根轨迹图， 如图5－14 （b） 所示。

图5－14　例5－7 的根轨迹图

（2） 确定当主导极点具有阻尼比ζ ＝0.5 时的开环增益以及相应的等效二阶系统、 动态过程指标。

具有阻尼比ζ ＝0.5 的主导极点一定落在与负实轴夹角为arccos0.5 ＝60°的直线上。 此时， 主导极点中的一个可写为s1 ＝r∠120°， 其中r 为s1 到原点的距离。 将s1 ＝r∠120°代入特征方程式（5.56） 中， 有

令式（5.59） 等号左侧的实部和虚部分别为零， 有

由式（5.60） 的第二式可求得符合题意的r ＝1.67， 再将其代入第一式， 可得K∗＝12.04。因此， 阻尼比为0.5 的主导极点中的一个为s1 ＝r∠120° ＝－0.84 ＋j1.45， 在K∗＝12.04 时取得。 根据根轨迹的对称性， 主导极点中的另一个为s2 ＝－0.84－j1.45， 同样在K∗＝12.04 时取得， 对应的开环增益为K ＝K∗／10 ＝1.20。

闭环系统的根之和满足

因此当主导极点取－0.84 ±j1.45 时， 第三个极点为

在图5－14 （b） 中用空心上三角标注出这三个闭环极点。 由于s3 到虚轴的距离与s1，2 到虚轴的距离之比满足

故闭环系统可以简化为等效二阶系统。

当K∗＝12.04 时， 系统的闭环传递函数可写为

等效二阶系统的无阻尼振荡频率以及阻尼比分别为

故系统动态过程指标为

除了上述方法之外， 读者还可通过图解法测量ζ ＝0.5 直线与根轨迹的交点， 从而粗略确定具有阻尼比ζ ＝0.5 的主导极点。

下面给出例5－7 的MATLAB 程序。

【例5－8】　若控制系统的开环传递函数为

试绘制闭环系统的根轨迹草图， 并给出能够使系统稳定的K∗取值范围。

解：

（1） 开环传递函数的极点为p1 ＝0， p2 ＝－4， p3 ＝－4 ＋j4， p4 ＝－4－j4。 将其标注于图5－15 （a） 中的复平面上。

（2） 确定根轨迹的分支数以及渐近线。 由于开环传递函数n ＝4， m ＝0， 故共有4 条根轨迹分支以及4 条渐近线。 渐近线与实轴正方向的夹角为

当l ＝0 时， φa ＝45°； 当l ＝1 时， φa ＝135°； 当l ＝2 时， φa ＝225°； 当l ＝3 时， φa ＝315°。渐近线与实轴的交点为

将渐近线标注于图5－15 （a） 中。

（3） 确定实轴上的根轨迹。 对于实轴上的区间（－4， 0） 而言， 其右侧实轴上的极点个数为奇数。 故区间（－4， 0） 是根轨迹所在的部分， 将其标注于图5－15 （a） 中。

（4） 确定分离点。 闭环系统的特征方程为

分离点对应着重根， 还应当满足

由式（5.62） 解得

将这三个解代入式（5.61） 中， 有

（5） 求复数极点的起始角。 对于p3 ＝－4 ＋j4， 有

故3

对于p4 ＝－4－j4， 有θp4 ＝360°－θp3 ＝135°。 将起始角标注于图5－15 （a） 中的复数极点处。

（6） 求根轨迹与虚轴的交点。 将s ＝jω 代入特征方程式（5.61） 中， 整理得

令实部和虚部分别为零， 有

由式（5.63） 解得ω ＝±3.27， K∗＝568.89。 故当K∗＝568.89 时， 根轨迹与虚轴交于±j3.27。 将根轨迹与虚轴的交点标注于图5－15 （a） 中。

经过以上六个步骤， 可以绘制出图5－15 （b） 所示的根轨迹。 随着K∗由零开始不断增大， 当K∗＝568.89 时， 根轨迹开始越过虚轴进入复平面的右半部分。 因此使系统稳定的K∗取值范围为0 ＜K∗＜568.89。

图5－15　例5－8 的根轨迹

下面给出例5－8 的MATLAB 程序：