加速度输入对稳态误差与静态加速度误差系数的影响

在图4－3 所示的控制系统中， 若r（t） ＝Rt2／2 （其中R 为加速度输入函数的速度变化率）， 则R（s） ＝R／s3。 将R（s） 代入式（4.22）， 算得各型系统在加速度输入作用下的稳态误差

Ⅱ型单位反馈系统在加速度输入作用下的稳态误差如图4－8 所示。

如果用静态加速度误差系数表示系统在加速度输入作用下的稳态误差， 则将R（s） ＝R／s3代入式（4.22）， 得

通常， 由式（4.29） 表达的稳态误差称为加速度误差。 与前面的情况类似， 加速度误差是指系统在加速度函数输入作用下系统稳态输出与输入之间的位置误差。 显然， 0 型及Ⅰ型单位反馈系统， 在稳态时都不能跟踪加速度输入； 对于Ⅱ型单位反馈系统， 稳态输出的加速度与输入加速度函数相同， 但存在一定的稳态位置误差， 其值与加速度输入函数的速度变化率R 成正比， 而与开环增益（静态加速度误差系数） K （或Ka） 成反比； 对于Ⅲ型及Ⅲ型以上的系统， 只要系统稳定， 其稳态输出能准确跟踪加速度输入信号， 不存在位置误差。

静态误差系数Kp， Kv 和Ka 定量描述了系统跟踪不同形式输入信号的能力。 当系统输入信号形式、 输出量的期望值及允许稳态位置误差确定后， 可以方便地根据静态误差系数去选择系统的型数和开环增益。 但是， 对于非单位反馈控制系统而言， 静态误差系数没有明显的物理意义， 也不便于用图形表示。

如果系统承受的输入信号是多种典型函数的组合， 例如则根据线性叠加原理， 可将每个输入分量单独作用于系统， 再将各稳态误差分量叠加起来，得到

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显然， 这时应至少选用Ⅱ型系统， 否则稳态误差将为无穷大。 无穷大的稳态误差， 表示系统输出量与输入量之间在位置上的误差随时间t 的增加而增大， 稳态时达无穷大。 由此可见，采用高型数系统对提高系统的控制精度有利， 但应以确保系统的稳定性为前提， 同时还要兼顾系统的动态性能要求。

反馈控制系统的型数、 静态误差系数和输入信号形式之间的关系见表4－1。 表4－1 表明一个控制系统在不同形式的输入信号作用下具有不同的稳态误差。

表4－1　反馈控制系统的型数、 静态误差系数和输入信号形式

系统对于阶跃输入信号不存在稳态误差的物理解释是清楚的。 由于系统受到单位阶跃位置信号作用后， 其稳态输出必定是一个恒定的位置（角位移）， 所以伺服电动机必须停止转动。 显然， 如果电动机不转， 则加在电动机控制绕组上的电压必须为零。 这就意味着系统输入端的误差信号的稳态值应等于零。 因此， 系统在单位阶跃输入信号作用下， 不存在位置误差。

当单位斜坡输入信号作用于系统时， 系统的稳态输出速度必定与输入信号速度相同。 这样， 就要求电动机做恒速运转， 因此需要在电动机控制绕组上加一个恒定的电压， 由此推得误差信号的终值应等于一个常值， 所以系统存在常值速度误差。

应当指出， 在系统误差分析中， 只有当输入信号是阶跃函数、 斜坡函数和加速度函数或者是三种函数的线性组合时， 静态误差才有意义。 用静态误差系数求得的系统稳定误差值或为零， 或为常值， 或趋于无穷大， 但其实质是用终值定理法求得系统的终值误差。 因此， 当系统输入信号为其他形式的函数时， 静态误差系数法便无法应用。 此外， 系统的稳态误差一般是时间的函数， 即使静态误差系数法可用， 也不能表示稳态误差随时间变化的规律。 有些控制系统（例如导弹控制系统） 的有效工作时间不长， 系统往往在输出量达不到要求的稳态值时便已结束工作， 无法使用静态误差系数法进行误差分析， 为此， 我们需要引入动态误差系数的概念。