赫尔维茨稳定判据的应用及意义

根据赫尔维茨稳定判据（下面简称为赫尔维茨判据）， 特征方程（4.5） 所表示的线性控制系统稳定的充分必要条件应是由特征方程系数ai（i ＝1， 2， …， n） 组成的主行列式及其主对角线上的各阶子行列式均为正［顺序行列式Δi ＞0（i ＝1， 2， …， n）］， 即

注意： 赫尔维茨主行列式的特点是第一行为第二项、 第四项等偶数项的系数； 第二行则为第一项、 第三项等奇数项的系数； 第三、 四行则重复上两行的排列， 但向右移动一列， 前一列则以0 代替； 以下各行， 以此类推。

按照赫尔维茨判据， 四阶以下的控制系统稳定的充要条件还可以表示为

n ＝2， a2 ＞0， a1 ＞0， a0 ＞0

n ＝3， a3 ＞0， a2 ＞0， a1 ＞0， a0 ＞0， a2a1－a0a3 ＞0

n ＝4， a4 ＞0， a3 ＞0， a2 ＞0， a1 ＞0， a0 ＞0， a2a3－a1a4 ＞0， a1a2a3－a21a4－a0a23 ＞0

【例4－7】　系统的特征方程为(www.xing528.com)

试用赫尔维茨判据判断系统的稳定性。

解： 由特征方程， 得

由于Δ2 ＜0， 不满足主对角线上的各阶顺序赫尔维茨行列式为正的条件， 因此， 系统不稳定。

实际上， 赫尔维茨判据与劳斯判据在实质上是相同的， 可以仅从与劳斯判据之间的关系入手解释。 劳斯表中第一列各数与各顺序赫尔维茨行列式之间满足

需要注意的是， 当系统特征方程的次数较高时， 应用赫尔维茨判据计算的工作量较大， 不便于人工计算， 这时， 可以考虑采用劳斯判据来判别系统的稳定性。