在稳定的高阶系统中, 对其时间响应起到主导作用的闭环极点称为闭环主导极点(Closed⁃loop Dominant Pole)。
闭环主导极点具有以下两个特征。
(1) 在s 平面上, 距离虚轴比较近, 且附近没有其他的零点与极点。
(2) 其实部的绝对值比其他极点实部的绝对值小4/5 以上。
由于闭环主导极点距离s 平面的虚轴比较近, 其对应的暂态分量衰减缓慢, 其附近没有零点, 不会构成偶极子, 主导极点对应的暂态分量将具有较大的幅值; 其他的极点具有较大的负实部, 对应的响应分量将较快地衰减为零, 因此, 闭环主导极点主导着系统响应的变化过程。
借助闭环主导极点的概念, 某些高阶系统在一定条件下可被近似为一阶或二阶系统, 以实现对高阶系统的动态性能的评估。 在工程实际应用中, 通常要求系统兼具反应速度和阻尼程度, 因此, 高阶系统常调整增益来使其具有衰减振荡的动态特性。 此时, 闭环主导极点是一对共轭复数, 高阶系统可按二阶系统进行估计。
【例3-4】 已知系统的闭环传递函数为
试估算该系统的动态性能指标。
解: 由闭环传递函数可知, 该系统是一个三阶系统, 其闭环零、 极点在s 平面的分布如图3-14 所示。
图3-14 零、 极点在s 平面的分布
闭环零点: z1 =-1.70。
闭环极点: p1 =-1.50, p2,3 =-4. 00 ±j9.20。
显然, p1 与z1 构成一对偶极子, 共轭极点p2, p3 是系统的主导极点, 系统可近似为二阶系统, 即
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按照二阶传递函数动态性能有
估算动态性能指标为
从图3-14 中可以看出, 可以用主导极点对高阶系统动态性能进行近似评估。
【例3-5】 已知闭环传递函数为
试求系统的阶跃响应。
解:
此时, 系统的主导极点是s =-1, 系统传递函数近似(降阶后) 为
单位阶跃响应曲线如图3-15 所示。 由图可知, 精确曲线与近似曲线只在响应开始时有误差, 且误差越来越小, 并且在3 s 之后逐渐重合, 因此可以用主导极点去实现对高阶系统动态性能的评估。
图3-15 单位阶跃响应曲线
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