结构图等效变换

1. 串联方框的简化

传递函数分别为G1（s） 和G2（s） 的两个方框， 若将G1（s） 的输出量作为G2（s） 的输入量， 则G1（s） 和G2（s） 称为串联连接， 如图2－21 所示。

图2－21　串联方框及其简化

由图2－21 （a） 可得

消去U（s）， 有

式中， G（s） ＝G1（s）G2（s）是串联方框的等效传递函数， 可用图2－21 （b） 所示的方框表示。 由此可知， 两个方框串联的等效传递函数等于各个方框传递函数之乘积。 该结论可推广到n 个方框串联的情况。

2. 并联方框的简化

传递函数分别为G1（s） 和G2（s） 的两个方框， 如果它们有相同的输入量， 而输出量等于两个方框输出量的代数和， 则G1（s） 和G2（s） 称为并联连接， 如图2－22 所示。

图2－22　并联方框及其简化

由图2－22 （a） 可得

消去C1（s） 和C2（s）， 得

式中， G（s） ＝G1（s） ±G2（s）是并联方框的等效传递函数， 可用图2－22 （b） 的方框表示。由此可知， 两个方框并联的等效传递函数等于各个方框传递函数的代数和。 该结论也可推广至n 个方框并联连接的情况。

3. 反馈连接方框的简化

若传递函数分别为G（s） 和H（s） 的两个方框， 以图2－23 （a） 所示的形式连接， 则称为反馈连接。 “ ＋” 号为正反馈， 表示输入信号与反馈信号相加； “－” 号为负反馈， 表示输入信号与反馈信号相减。

图2－23　反馈连接方框及其简化

由图2－23 （a） 可知

消去E（s） 和B（s）， 得

故有

式中(www.xing528.com)

称为闭环传递函数， 是方框反馈连接的等效传递函数， 式中负号对应正反馈连接， 正号对应负反馈连接， 式（2.79） 可用图2－23 （b） 所示的方框表示。

4. 比较点移动简化

若传递函数如图2－24 （a） 所示， 将比较点向后移至G（s） 之后， 输入量R2（s） 不再通过G（s）， 则在R2（s） 和比较点之间应串联一个传递函数G（s）， 如图2－24 （b） 所示。若传递函数如图2－25 （a） 所示， 将比较点向前移至G（s） 之后， 当输出信号R2（s） 到达C（s） 时， 多通过了一个传递函数G（s）， 则需要在R2（s） 和比较点之间串联一个传递函数1／G（s）， 如图2－25 （b） 所示。

图2－24　比较点后移

图2－25　比较点前移

5. 引出点移动简化

若传递函数如图2－26 （a） 所示， 将引出点向前移至G（s） 之前， 输出量C2（s） 少通过了一次G（s）， 则在C2（s） 和引出点之间应串联一个传递函数G（s）， 如图2－26 （b） 所示。 若传递函数如图2－27 （a） 所示， 将引出点向后移至G（s） 之后， 输出量C2（s） 多通过了一次G（s）， 则在C2（s） 和引出点之间应串联一个传递函数1／G（s）， 如图2－27 （b）所示。

图2－26　引出点前移

图2－27　引出点后移

在系统结构图简化过程中， 有时为了便于进行方框的串联、 并联或反馈连接的运算， 需要移动比较点或引出点的位置。 值得注意的是， 移动前后必须保持信号的等效性， 而且比较点和引出点一般不宜交换位置。 此外， “－” 号可以在信号线上越过方框移动， 但不能越过比较点和引出点。

更多结构图的等效变换规则见表2－3， 这些等效变换规则都是由方程式的代数推导得到的， 这种对结构图模型进行化简的方法比直接求解微分方程更为直观， 便于研究人员更好地理解各元件在系统中的作用。

表2－3　结构图的等效变换规则

续表

【例2－11】　简化图2－28 所示的多回路反馈控制系统的结构模型。

解： 值得注意的是， 反馈信号H3 是正反馈信号， 回路G3G4H3 是正反馈回路。 该结构图模型简化的核心是利用结构图等效变换规则中的消去反馈原则来进行结构图的简化， 其他变换都是为此而做的准备。 首先， 为了消去回路G3G4H3， 将H2 的引出点移到G4 之后， 得到图2－29 （a）； 然后利用消去反馈回路等效变换规则， 消去回路G3G4H3， 得到图2－29（b）； 再消去含有H2／G4 的内回路， 得到图2－29 （c）； 最后， 消去含有H1 的回路， 得到闭环系统的传递函数， 化简后的结构图如图2－29 （d） 所示。

图2－28　多回路反馈控制系统的结构

图2－29　结构图的简化过程

图2－29　结构图的简化过程（续）