传递函数的定义和性质

1. 传递函数的定义

传递函数是指在零初始条件下线性定常系统输出量的拉普拉斯变换与输入量的拉普拉斯变换之比。

传递函数的定义表明， 传递函数是在零初始状态下定义的。 控制系统的零初始条件有两方面的含义： 一是指输入量在t≥0 时才作用于系统， 因此， 当t ＝0 －时， 输入量及各阶导数均为零； 二是指输入量加入系统之前， 系统处于稳定的工作状态， 即输出量及其各阶导数在t ＝0 －时的值也为零， 现实的工程控制系统多属于此类情况。 另外， 传递函数可反映控制系统的动态性能， 但只是对系统输入、 输出的描述， 并不能提供系统内部的结构和状态信息。

传递函数的定义只适用于线性定常系统。 线性定常系统可由下述n 阶线性微分方程描述：

式中， c（t） 是系统输出量； r（t） 是系统输入量； ai（i ＝1， 2， …， n） 和bj（j ＝1， 2， …， m）为常数， 而且是与系统结构、 参数有关的常系数。 在零初始条件的假设下， 即当c（t）、 r（t）及其各阶导数在t ＝0 －时的值均为零时， 对式（2.50） 的两端进行拉普拉斯变换， 可得如下代数方程：

因此， 根据定义可以得到系统的传递函数：

如果在传递函数的分母中s 的最高阶次为n， 则称该系统为n 阶系统。

2. 传递函数的性质

（1） 传递函数是复变量s 的有理真分式函数， 具有复变函数的所有性质（m≤n 且所有系数均为实数）。

（2） 传递函数是一种用系统参数表示输出量和输入量之间关系的表达式， 只取决于系统的结构和参数， 与输出量的形式无关， 也不反映任何系统内部的信息。 因此可以用结构图（图2－14） 表示一个具有传递函数G（s）的线性系统。 图中表明， 系统输入量与输出量的因果关系可以用传递函数表示。

（3） 传递函数与微分方程有相通性。 传递函数分子多项式系数及分母多项式系数， 分别与相应微分方程的右端及左端微分算符多项式对应。 故在零初始条件下， 将微分方程的算符d／dt 用复数s 置换便得到传递函数； 反之， 将传递函数多项式中的变量s 用算符d／dt 置换便得到微分方程， 即传递函数中的s 与微分方程中的d／dt 有相通性。

（4） 传递函数G（s） 的拉普拉斯反变换是脉冲响应g（t）， 传递函数只适用于线性定常系统。 脉冲响应（也称为脉冲过渡函数） g（t） 是系统在单位脉冲δ（t） 输入时的输出响应，此时R（s） ＝L［δ（t）］ ＝1， 故有g（t） ＝L －1［C（s）］ ＝L －1［G（s）R（s）］ ＝L －1［G（s）］。

【例2－8】　求如图2－15 所示的运算放大器电路的传递函数。

运算放大器是控制系统中重要的电路单元， 通常与反馈网络共同组成某种功能模块， 其被广泛应用于工程领域。 假设运算放大器处于理想的工作条件下：

（1） i1 ＝0 和i2 ＝0， 即输入阻抗为无穷大。

（2） u2－u1 ＝0， 即u1 ＝u2。

图2－14　传递函数

图2－15　运算放大器

解： 理想的运算放大器的输入和输出应满足如下等式：

式中， K 为增益， 趋向于无穷。

考虑反相放大器（图2－16）， 由于其工作在理想条件下， i1 ＝0， 因此u1 处的节点方程为(www.xing528.com)

图2－16　反相放大器

又因为u1 ＝u2 且u2 ＝0， 故有

整理后可得

由此可见， 当R2 ＝R1 时， 运算放大器对输入信号作了反相处理， 即u0 ＝uin。

【例2－9】　求某超前网络的传递函数。

某超前网络的电路如图2－17 所示， 电路中各元件的名称均在图中给出， 其中电路的输入量为u1， 输出量为u2。

图2－17　某超前网络的电路

解： 首先， 某超前网络电路的电压满足以下方程：

假设初始条件为零， 对式（2.53） ～式（2.55） 的两端取拉普拉斯变换， 可得

式中， T ＝R1C； α ＝（R1 ＋R2）／R2 ＞1。

【例2－10】　求卫星姿态控制的传递函数。

卫星结构如图2－18 所示。 为了使卫星上的天线、 传感器以及太阳帆板正常工作， 卫星需要有正确的指向， 如天线需要指向地球上的特定位置、 太阳帆板需要朝向太阳， 这就需要我们对卫星进行姿态控制。 卫星的姿态控制需要考虑三个轴的转动，为了简化问题， 本例题中仅考虑一个轴的运动。

图2－18　卫星结构

解： 假设考虑允许围绕垂直于页面的轴的运动， 描述卫星滚转的角度是在惯性参考坐标系中测量所得， 也就是说参考坐标系没有角加速度。 控制力由喷嘴产生， 可产生绕质心的力矩Fcd。 卫星上也可能存在卫星结构不对称所导致的太阳光压形成的小扰动力矩MD， 根据牛顿定律可以得到系统的运动方程为

可得传递函数为

式中， U（s） ＝Fcd ＋MD。